Sr Examen

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Gráfico de la función y = acos((x-2)/5)+sqrt((x-1)/(3-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                         _______
           /x - 2\      / x - 1 
f(x) = acos|-----| +   /  ----- 
           \  5  /   \/   3 - x 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)}$$
f = sqrt((x - 1)/(3 - x)) + acos((x - 2)/5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 10.5138569608604$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((x - 2)/5) + sqrt((x - 1)/(3 - x)).
$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{5} \right)} + \sqrt{- \frac{1}{3 - 0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{5} \right)} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
Punto:
(0, i*sqrt(3)/3 + acos(-2/5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} \left(3 - x\right) \left(\frac{1}{2 \left(3 - x\right)} + \frac{x - 1}{2 \left(3 - x\right)^{2}}\right)}{x - 1} - \frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{25}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((x - 2)/5) + sqrt((x - 1)/(3 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)} = \sqrt{\frac{- x - 1}{x + 3}} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{x}{5} - \frac{2}{5} \right)}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x - 1}{3 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{5} \right)} = - \sqrt{\frac{- x - 1}{x + 3}} - \operatorname{acos}{\left(- \frac{x}{5} - \frac{2}{5} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar