Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*sqrt(log(x)^2-log(x^(-2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              ___________________
             /    2         /1 \ 
f(x) = x*   /  log (x) - log|--| 
           /                | 2| 
         \/                 \x / 
$$f{\left(x \right)} = x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
f = x*sqrt(-log(x^(-2)) + log(x)^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e^{-2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.135335283236613$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sqrt(log(x)^2 - log(x^(-2))).
$$0 \sqrt{\log{\left(0 \right)}^{2} - \log{\left(\frac{1}{0} \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}} + \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
          ___        _____________________________          ___ 
    3   \/ 5        /                   2             3   \/ 5  
  - - - -----      /       /        ___\            - - - ----- 
    2     2       /        |  3   \/ 5 |      ___     2     2   
(e          ,   /    -3 + |- - - -----|  - \/ 5  *e           )
               \/          \  2     2  /                        

          ___        _____________________________          ___ 
    3   \/ 5        /                           2     3   \/ 5  
  - - + -----      /               /        ___\    - - + ----- 
    2     2       /          ___   |  3   \/ 5 |      2     2   
(e          ,   /    -3 + \/ 5  + |- - + -----|  *e           )
               \/                  \  2     2  /                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\log{\left(x \right)} + 2 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - \log{\left(x \right)}^{2}}}{x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1 + \frac{\sqrt[3]{18}}{3 \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}} + \frac{\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}}{6}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - \log{\left(x \right)}^{2}}}{x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - \log{\left(x \right)}^{2}}}{x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{-1 + \frac{\sqrt[3]{18}}{3 \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}} + \frac{\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}}{6}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1 + \frac{\sqrt[3]{18}}{3 \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}} + \frac{\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{\sqrt{69} + 9}}{6}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(log(x)^2 - log(x^(-2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = - x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
$$x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(x \right)}^{2}} = x \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar