Sr Examen

Otras calculadoras

x^4-8x^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • erf(x) erf(x)
  • x^4-8x^2 x^4-8x^2
  • x^2+10x+25 x^2+10x+25
  • 5x^2-7x+2 5x^2-7x+2
  • Derivada de:
  • x^4-8x^2 x^4-8x^2

  • Expresiones idénticas

  • x^ cuatro -8x^ dos
  • x en el grado 4 menos 8x al cuadrado
  • x en el grado cuatro menos 8x en el grado dos
  • x4-8x2
  • x⁴-8x²
  • x en el grado 4-8x en el grado 2

  • Expresiones semejantes

  • x^4+8x^2
Trazado el gráfico de la función/ x^4-8x^2

Gráfico de la función y = x^4-8x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2
f(x) = x  - 8*x
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 8 x^{2}$$ 
f = x^4 - 8*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{4} - 8 x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.82842712474619$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2.82842712474619$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 8*x^2.
$$0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 16 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -16)

(0, 0)

(2, -16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{4} - 8 x^{2} = x^{4} - 8 x^{2}$$
- Sí
$$x^{4} - 8 x^{2} = - x^{4} + 8 x^{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-8x^2
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