Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
-exp(-2*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- sin^ dos (dos x)/x^2
- seno de al cuadrado (2x) dividir por x al cuadrado
- seno de en el grado dos (dos x) dividir por x al cuadrado
- sin2(2x)/x2
- sin22x/x2
- sin²(2x)/x²
- sin en el grado 2(2x)/x en el grado 2
- sin^22x/x^2
- sin^2(2x) dividir por x^2
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/2+(1+x)*exp(-x)
- sin(3*x)+x^4
- sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
- sin(asin(x))
- sin(40*x+sin(40*x)^(2)*2)^(50)
Gráfico de la función y = sin^2(2x)/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
sin (2*x)
f(x) = ---------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$
f = sin(2*x)^2/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 73.8274273567915$$
$$x_{2} = 29.8451303066103$$
$$x_{3} = 6.28318528405073$$
$$x_{4} = 20.4203521558631$$
$$x_{5} = -37.6991118765398$$
$$x_{6} = -10.9955752713639$$
$$x_{7} = -100.53096715439$$
$$x_{8} = -43.982297174684$$
$$x_{9} = 43.9822971692307$$
$$x_{10} = 12.5663704850261$$
$$x_{11} = -58.119464005582$$
$$x_{12} = 95.8185760417134$$
$$x_{13} = -50.2654823316798$$
$$x_{14} = -31.4159266463816$$
$$x_{15} = 15.7079633826984$$
$$x_{16} = -45.5530935748863$$
$$x_{17} = 72.2566310277233$$
$$x_{18} = 36.1283153743236$$
$$x_{19} = -1.57079639248186$$
$$x_{20} = 89.5353906055831$$
$$x_{21} = 37.6991119625352$$
$$x_{22} = 81.681409113154$$
$$x_{23} = -39.269908072735$$
$$x_{24} = 87.9645943350743$$
$$x_{25} = -95.8185758682535$$
$$x_{26} = 34.5575190677819$$
$$x_{27} = -73.8274272804816$$
$$x_{28} = 56.5486680137361$$
$$x_{29} = -65.9734457652848$$
$$x_{30} = 14.1371670735723$$
$$x_{31} = 42.4115007355443$$
$$x_{32} = 4.71238885481651$$
$$x_{33} = -64.4026491897025$$
$$x_{34} = -17.2787594978913$$
$$x_{35} = -64.4026493053772$$
$$x_{36} = 7.85398172370268$$
$$x_{37} = -94.2477794848774$$
$$x_{38} = -15.7079632959851$$
$$x_{39} = -83.2522051459438$$
$$x_{40} = 86.3937978933922$$
$$x_{41} = 6.28318496152014$$
$$x_{42} = 26.7035375145458$$
$$x_{43} = -40.8407045068203$$
$$x_{44} = -36.1283158994015$$
$$x_{45} = 212.057504568874$$
$$x_{46} = 72.2566446586312$$
$$x_{47} = 92.676983213494$$
$$x_{48} = 64.4026493144976$$
$$x_{49} = -28.2743337538651$$
$$x_{50} = -20.4203521580796$$
$$x_{51} = -21.9911485864661$$
$$x_{52} = 67.5442420525205$$
$$x_{53} = -29.845130098276$$
$$x_{54} = -61.2610566157024$$
$$x_{55} = 21.9911485851352$$
$$x_{56} = -87.964594359252$$
$$x_{57} = -75.398223795994$$
$$x_{58} = 45.5530934936053$$
$$x_{59} = -78.5398164148149$$
$$x_{60} = 94.2477808308851$$
$$x_{61} = -86.3937978754459$$
$$x_{62} = -72.2566309083664$$
$$x_{63} = -6.28318515948318$$
$$x_{64} = -34.557518404597$$
$$x_{65} = 51.8362788854973$$
$$x_{66} = 78.5398162209587$$
$$x_{67} = -14.137166845022$$
$$x_{68} = -9.42477806113984$$
$$x_{69} = 23.5619449245691$$
$$x_{70} = -97.3893723690414$$
$$x_{71} = 48.6946860840394$$
$$x_{72} = 36.1283157021307$$
$$x_{73} = -81.6814090369561$$
$$x_{74} = -23.561944995954$$
$$x_{75} = 42.4115005017016$$
$$x_{76} = -67.5442421530071$$
$$x_{77} = 80.1106131428399$$
$$x_{78} = 4.7123889633708$$
$$x_{79} = 28.2743338652453$$
$$x_{80} = -81.681409002417$$
$$x_{81} = -89.5353907307861$$
$$x_{82} = 65.9734457524935$$
$$x_{83} = -59.69026045684$$
$$x_{84} = -42.4115007347294$$
$$x_{85} = 59.6902605383697$$
$$x_{86} = 50.2654824463705$$
$$x_{87} = 56.5486676447035$$
$$x_{88} = 40.8407044302163$$
$$x_{89} = -100.530965224591$$
$$x_{90} = -15.7079635614167$$
$$x_{91} = -51.8362786907681$$
$$x_{92} = -36.1283154260462$$
$$x_{93} = -7.85398149725008$$
$$x_{94} = 94.2477796093529$$
$$x_{95} = 100.530964797164$$
$$x_{96} = -80.1106125850446$$
$$x_{97} = 73.8274274637685$$
$$x_{98} = 70.6858346486735$$
$$x_{99} = -53.4070752220141$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 73.8274273567915$$
$$x_{2} = 29.8451303066103$$
$$x_{3} = 6.28318528405073$$
$$x_{4} = 20.4203521558631$$
$$x_{5} = -37.6991118765398$$
$$x_{6} = -10.9955752713639$$
$$x_{7} = -100.53096715439$$
$$x_{8} = -43.982297174684$$
$$x_{9} = 43.9822971692307$$
$$x_{10} = 12.5663704850261$$
$$x_{11} = -58.119464005582$$
$$x_{12} = 95.8185760417134$$
$$x_{13} = -50.2654823316798$$
$$x_{14} = -31.4159266463816$$
$$x_{15} = 15.7079633826984$$
$$x_{16} = -45.5530935748863$$
$$x_{17} = 72.2566310277233$$
$$x_{18} = 36.1283153743236$$
$$x_{19} = -1.57079639248186$$
$$x_{20} = 89.5353906055831$$
$$x_{21} = 37.6991119625352$$
$$x_{22} = 81.681409113154$$
$$x_{23} = -39.269908072735$$
$$x_{24} = 87.9645943350743$$
$$x_{25} = -95.8185758682535$$
$$x_{26} = 34.5575190677819$$
$$x_{27} = -73.8274272804816$$
$$x_{28} = 56.5486680137361$$
$$x_{29} = -65.9734457652848$$
$$x_{30} = 14.1371670735723$$
$$x_{31} = 42.4115007355443$$
$$x_{32} = 4.71238885481651$$
$$x_{33} = -64.4026491897025$$
$$x_{34} = -17.2787594978913$$
$$x_{35} = -64.4026493053772$$
$$x_{36} = 7.85398172370268$$
$$x_{37} = -94.2477794848774$$
$$x_{38} = -15.7079632959851$$
$$x_{39} = -83.2522051459438$$
$$x_{40} = 86.3937978933922$$
$$x_{41} = 6.28318496152014$$
$$x_{42} = 26.7035375145458$$
$$x_{43} = -40.8407045068203$$
$$x_{44} = -36.1283158994015$$
$$x_{45} = 212.057504568874$$
$$x_{46} = 72.2566446586312$$
$$x_{47} = 92.676983213494$$
$$x_{48} = 64.4026493144976$$
$$x_{49} = -28.2743337538651$$
$$x_{50} = -20.4203521580796$$
$$x_{51} = -21.9911485864661$$
$$x_{52} = 67.5442420525205$$
$$x_{53} = -29.845130098276$$
$$x_{54} = -61.2610566157024$$
$$x_{55} = 21.9911485851352$$
$$x_{56} = -87.964594359252$$
$$x_{57} = -75.398223795994$$
$$x_{58} = 45.5530934936053$$
$$x_{59} = -78.5398164148149$$
$$x_{60} = 94.2477808308851$$
$$x_{61} = -86.3937978754459$$
$$x_{62} = -72.2566309083664$$
$$x_{63} = -6.28318515948318$$
$$x_{64} = -34.557518404597$$
$$x_{65} = 51.8362788854973$$
$$x_{66} = 78.5398162209587$$
$$x_{67} = -14.137166845022$$
$$x_{68} = -9.42477806113984$$
$$x_{69} = 23.5619449245691$$
$$x_{70} = -97.3893723690414$$
$$x_{71} = 48.6946860840394$$
$$x_{72} = 36.1283157021307$$
$$x_{73} = -81.6814090369561$$
$$x_{74} = -23.561944995954$$
$$x_{75} = 42.4115005017016$$
$$x_{76} = -67.5442421530071$$
$$x_{77} = 80.1106131428399$$
$$x_{78} = 4.7123889633708$$
$$x_{79} = 28.2743338652453$$
$$x_{80} = -81.681409002417$$
$$x_{81} = -89.5353907307861$$
$$x_{82} = 65.9734457524935$$
$$x_{83} = -59.69026045684$$
$$x_{84} = -42.4115007347294$$
$$x_{85} = 59.6902605383697$$
$$x_{86} = 50.2654824463705$$
$$x_{87} = 56.5486676447035$$
$$x_{88} = 40.8407044302163$$
$$x_{89} = -100.530965224591$$
$$x_{90} = -15.7079635614167$$
$$x_{91} = -51.8362786907681$$
$$x_{92} = -36.1283154260462$$
$$x_{93} = -7.85398149725008$$
$$x_{94} = 94.2477796093529$$
$$x_{95} = 100.530964797164$$
$$x_{96} = -80.1106125850446$$
$$x_{97} = 73.8274274637685$$
$$x_{98} = 70.6858346486735$$
$$x_{99} = -53.4070752220141$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 14.1371669411541$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -7.85398163397448$$
$$x_{5} = -32.1935597952787$$
$$x_{6} = -4.71238898038469$$
$$x_{7} = 10.1856514796438$$
$$x_{8} = -59.6902604182061$$
$$x_{9} = -99.7430603324317$$
$$x_{10} = -58.1194640914112$$
$$x_{11} = 95.8185759344887$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = 80.1106126665397$$
$$x_{14} = 25.9084912436398$$
$$x_{15} = 94.2477796076938$$
$$x_{16} = -14.1371669411541$$
$$x_{17} = 7.85398163397448$$
$$x_{18} = -29.845130209103$$
$$x_{19} = -10.1856514796438$$
$$x_{20} = 98.172223901556$$
$$x_{21} = 76.1803402100956$$
$$x_{22} = -87.9645943005142$$
$$x_{23} = 42.4115008234622$$
$$x_{24} = -11.7597262493445$$
$$x_{25} = -47.9040693934309$$
$$x_{26} = 69.8968599047927$$
$$x_{27} = 46.3330961388114$$
$$x_{28} = -91.8888644664832$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = -63.6133213216672$$
$$x_{31} = 62.0424254948814$$
$$x_{32} = -45.553093477052$$
$$x_{33} = -41.6200962353617$$
$$x_{34} = 24.3370721159772$$
$$x_{35} = -21.9911485751286$$
$$x_{36} = -23.5619449019235$$
$$x_{37} = -76.1803402100956$$
$$x_{38} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = 58.1194640914112$$
$$x_{40} = 90.3180208221014$$
$$x_{41} = -36.1283155162826$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = -33.7647173885721$$
$$x_{44} = 68.3259813506395$$
$$x_{45} = -51.8362787842316$$
$$x_{46} = -73.8274273593601$$
$$x_{47} = 64.4026493985908$$
$$x_{48} = -84.0346285545694$$
$$x_{49} = -77.7512028363303$$
$$x_{50} = 54.9778714378214$$
$$x_{51} = -54.1878598258373$$
$$x_{52} = 18.0503111221878$$
$$x_{53} = -95.8185759344887$$
$$x_{54} = -3.86262591846885$$
$$x_{55} = -85.6054794697228$$
$$x_{56} = -73.0386064020852$$
$$x_{57} = -43.9822971502571$$
$$x_{58} = -37.6991118430775$$
$$x_{59} = 83.2522053201295$$
$$x_{60} = -65.9734457253857$$
$$x_{61} = 3.86262591846885$$
$$x_{62} = 20.4203522483337$$
$$x_{63} = 84.0346285545694$$
$$x_{64} = 54.1878598258373$$
$$x_{65} = 6.28318530717959$$
$$x_{66} = 28.2743338823081$$
$$x_{67} = 86.3937979737193$$
$$x_{68} = 43.9822971502571$$
$$x_{69} = -62.0424254948814$$
$$x_{70} = 65.9734457253857$$
$$x_{71} = -69.8968599047927$$
$$x_{72} = -88.7471755026564$$
$$x_{73} = 182.996405927956$$
$$x_{74} = -18.0503111221878$$
$$x_{75} = 40.0490643144726$$
$$x_{76} = -15.707963267949$$
$$x_{77} = 97.3893722612836$$
$$x_{78} = -40.0490643144726$$
$$x_{79} = 47.9040693934309$$
$$x_{80} = -25.9084912436398$$
$$x_{81} = 36.1283155162826$$
$$x_{82} = 51.8362787842316$$
$$x_{83} = 91.8888644664832$$
$$x_{84} = 73.8274273593601$$
$$x_{85} = 21.9911485751286$$
$$x_{86} = 2.24670472895453$$
$$x_{87} = 11.7597262493445$$
$$x_{88} = -55.7587861230655$$
$$x_{89} = -98.172223901556$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = -19.6222161805821$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 14.1371669411541$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -7.85398163397448$$
$$x_{5} = -4.71238898038469$$
$$x_{6} = -59.6902604182061$$
$$x_{7} = -58.1194640914112$$
$$x_{8} = 95.8185759344887$$
$$x_{9} = 72.2566310325652$$
$$x_{10} = 80.1106126665397$$
$$x_{11} = 94.2477796076938$$
$$x_{12} = -14.1371669411541$$
$$x_{13} = 7.85398163397448$$
$$x_{14} = -29.845130209103$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 50.2654824574367$$
$$x_{18} = -45.553093477052$$
$$x_{19} = -21.9911485751286$$
$$x_{20} = -23.5619449019235$$
$$x_{21} = 58.1194640914112$$
$$x_{22} = -36.1283155162826$$
$$x_{23} = 87.9645943005142$$
$$x_{24} = -51.8362787842316$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = 64.4026493985908$$
$$x_{27} = 54.9778714378214$$
$$x_{28} = -95.8185759344887$$
$$x_{29} = -43.9822971502571$$
$$x_{30} = -37.6991118430775$$
$$x_{31} = 83.2522053201295$$
$$x_{32} = -65.9734457253857$$
$$x_{33} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{35} = 28.2743338823081$$
$$x_{36} = 86.3937979737193$$
$$x_{37} = 43.9822971502571$$
$$x_{38} = 65.9734457253857$$
$$x_{39} = -15.707963267949$$
$$x_{40} = 97.3893722612836$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 51.8362787842316$$
$$x_{43} = 73.8274273593601$$
$$x_{44} = 21.9911485751286$$
$$x_{45} = -81.6814089933346$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{45} = -32.1935597952787$$
$$x_{45} = 10.1856514796438$$
$$x_{45} = -99.7430603324317$$
$$x_{45} = 25.9084912436398$$
$$x_{45} = -10.1856514796438$$
$$x_{45} = 98.172223901556$$
$$x_{45} = 76.1803402100956$$
$$x_{45} = -11.7597262493445$$
$$x_{45} = -47.9040693934309$$
$$x_{45} = 69.8968599047927$$
$$x_{45} = 46.3330961388114$$
$$x_{45} = -91.8888644664832$$
$$x_{45} = -63.6133213216672$$
$$x_{45} = 62.0424254948814$$
$$x_{45} = -41.6200962353617$$
$$x_{45} = 24.3370721159772$$
$$x_{45} = -76.1803402100956$$
$$x_{45} = 32.1935597952787$$
$$x_{45} = 90.3180208221014$$
$$x_{45} = -33.7647173885721$$
$$x_{45} = 68.3259813506395$$
$$x_{45} = -84.0346285545694$$
$$x_{45} = -77.7512028363303$$
$$x_{45} = -54.1878598258373$$
$$x_{45} = 18.0503111221878$$
$$x_{45} = -3.86262591846885$$
$$x_{45} = -85.6054794697228$$
$$x_{45} = -73.0386064020852$$
$$x_{45} = 3.86262591846885$$
$$x_{45} = 84.0346285545694$$
$$x_{45} = 54.1878598258373$$
$$x_{45} = -62.0424254948814$$
$$x_{45} = -69.8968599047927$$
$$x_{45} = -88.7471755026564$$
$$x_{45} = 182.996405927956$$
$$x_{45} = -18.0503111221878$$
$$x_{45} = 40.0490643144726$$
$$x_{45} = -40.0490643144726$$
$$x_{45} = 47.9040693934309$$
$$x_{45} = -25.9084912436398$$
$$x_{45} = 91.8888644664832$$
$$x_{45} = 2.24670472895453$$
$$x_{45} = 11.7597262493445$$
$$x_{45} = -55.7587861230655$$
$$x_{45} = -98.172223901556$$
$$x_{45} = -19.6222161805821$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3893722612836, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.8185759344887\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 14.1371669411541$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -7.85398163397448$$
$$x_{5} = -32.1935597952787$$
$$x_{6} = -4.71238898038469$$
$$x_{7} = 10.1856514796438$$
$$x_{8} = -59.6902604182061$$
$$x_{9} = -99.7430603324317$$
$$x_{10} = -58.1194640914112$$
$$x_{11} = 95.8185759344887$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = 80.1106126665397$$
$$x_{14} = 25.9084912436398$$
$$x_{15} = 94.2477796076938$$
$$x_{16} = -14.1371669411541$$
$$x_{17} = 7.85398163397448$$
$$x_{18} = -29.845130209103$$
$$x_{19} = -10.1856514796438$$
$$x_{20} = 98.172223901556$$
$$x_{21} = 76.1803402100956$$
$$x_{22} = -87.9645943005142$$
$$x_{23} = 42.4115008234622$$
$$x_{24} = -11.7597262493445$$
$$x_{25} = -47.9040693934309$$
$$x_{26} = 69.8968599047927$$
$$x_{27} = 46.3330961388114$$
$$x_{28} = -91.8888644664832$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = -63.6133213216672$$
$$x_{31} = 62.0424254948814$$
$$x_{32} = -45.553093477052$$
$$x_{33} = -41.6200962353617$$
$$x_{34} = 24.3370721159772$$
$$x_{35} = -21.9911485751286$$
$$x_{36} = -23.5619449019235$$
$$x_{37} = -76.1803402100956$$
$$x_{38} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = 58.1194640914112$$
$$x_{40} = 90.3180208221014$$
$$x_{41} = -36.1283155162826$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = -33.7647173885721$$
$$x_{44} = 68.3259813506395$$
$$x_{45} = -51.8362787842316$$
$$x_{46} = -73.8274273593601$$
$$x_{47} = 64.4026493985908$$
$$x_{48} = -84.0346285545694$$
$$x_{49} = -77.7512028363303$$
$$x_{50} = 54.9778714378214$$
$$x_{51} = -54.1878598258373$$
$$x_{52} = 18.0503111221878$$
$$x_{53} = -95.8185759344887$$
$$x_{54} = -3.86262591846885$$
$$x_{55} = -85.6054794697228$$
$$x_{56} = -73.0386064020852$$
$$x_{57} = -43.9822971502571$$
$$x_{58} = -37.6991118430775$$
$$x_{59} = 83.2522053201295$$
$$x_{60} = -65.9734457253857$$
$$x_{61} = 3.86262591846885$$
$$x_{62} = 20.4203522483337$$
$$x_{63} = 84.0346285545694$$
$$x_{64} = 54.1878598258373$$
$$x_{65} = 6.28318530717959$$
$$x_{66} = 28.2743338823081$$
$$x_{67} = 86.3937979737193$$
$$x_{68} = 43.9822971502571$$
$$x_{69} = -62.0424254948814$$
$$x_{70} = 65.9734457253857$$
$$x_{71} = -69.8968599047927$$
$$x_{72} = -88.7471755026564$$
$$x_{73} = 182.996405927956$$
$$x_{74} = -18.0503111221878$$
$$x_{75} = 40.0490643144726$$
$$x_{76} = -15.707963267949$$
$$x_{77} = 97.3893722612836$$
$$x_{78} = -40.0490643144726$$
$$x_{79} = 47.9040693934309$$
$$x_{80} = -25.9084912436398$$
$$x_{81} = 36.1283155162826$$
$$x_{82} = 51.8362787842316$$
$$x_{83} = 91.8888644664832$$
$$x_{84} = 73.8274273593601$$
$$x_{85} = 21.9911485751286$$
$$x_{86} = 2.24670472895453$$
$$x_{87} = 11.7597262493445$$
$$x_{88} = -55.7587861230655$$
$$x_{89} = -98.172223901556$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = -19.6222161805821$$
Signos de extremos en los puntos:
(29.845130209103036, 1.68714471691496e-33)
(14.137166941154069, 6.07829745433899e-33)
(-80.11061266653972, 1.4959990518616e-32)
(-7.853981633974483, 6.07829745433899e-33)
(-32.19355979527871, 0.000964622198903677)
(-4.71238898038469, 6.07829745433899e-33)
(10.18565147964378, 0.00961561612384591)
(-59.69026041820607, 1.68714471691496e-33)
(-99.74306033243167, 0.000100513340885442)
(-58.119464091411174, 2.83439413581311e-34)
(95.81857593448869, 1.6716594491665e-33)
(72.25663103256524, 3.10814878906843e-32)
(80.11061266653972, 1.4959990518616e-32)
(25.908491243639833, 0.00148920345694367)
(94.2477796076938, 5.30252155077537e-33)
(-14.137166941154069, 6.07829745433899e-33)
(7.853981633974483, 6.07829745433899e-33)
(-29.845130209103036, 1.68714471691496e-33)
(-10.18565147964378, 0.00961561612384591)
(98.172223901556, 0.000103755583308482)
(76.18034021009562, 0.000172304046283322)
(-87.96459430051421, 6.07829745433899e-33)
(42.411500823462205, 2.6156959046568e-32)
(-11.759726249344503, 0.00721807143425871)
(-47.90406939343085, 0.000435720380410719)
(69.8968599047927, 0.000204673891035961)
(46.33309613881142, 0.000465764927612584)
(-91.88886446648316, 0.000118429902592062)
(50.26548245743669, 6.07829745433899e-33)
(-63.613321321667165, 0.000247102436699453)
(62.04242549488138, 0.000259773148958224)
(-45.553093477052, 7.38547390666789e-40)
(-41.6200962353617, 0.0005772064373399)
(24.337072115977193, 0.00168764100896559)
(-21.991148575128552, 6.07829745433899e-33)
(-23.56194490192345, 5.30252155077537e-33)
(-76.18034021009562, 0.000172304046283322)
(32.19355979527871, 0.000964622198903677)
(58.119464091411174, 2.83439413581311e-34)
(90.31802082210145, 0.000122585150901722)
(-36.12831551628262, 3.10814878906843e-32)
(87.96459430051421, 6.07829745433899e-33)
(-33.76471738857206, 0.000876957480655573)
(68.3259813506395, 0.000214192858887947)
(-51.83627878423159, 8.88538382793035e-35)
(-73.82742735936014, 4.40924763787058e-33)
(64.40264939859077, 3.914740176044e-32)
(-84.0346285545694, 0.000141601565892886)
(-77.75120283633034, 0.000165412302651023)
(54.977871437821385, 1.34325652050293e-32)
(-54.18785982583734, 0.000340532861786277)
(18.050311122187804, 0.00306688509963722)
(-95.81857593448869, 1.6716594491665e-33)
(-3.8626259184688534, 0.0659201039718958)
(-85.60547946972281, 0.000136452675792673)
(-73.03860640208518, 0.000187445358793683)
(-43.982297150257104, 6.07829745433899e-33)
(-37.69911184307752, 6.07829745433899e-33)
(83.25220532012952, 1.24533665069701e-33)
(-65.97344572538566, 8.84341857594754e-34)
(3.8626259184688534, 0.0659201039718958)
(20.420352248333657, 9.21899983097992e-33)
(84.0346285545694, 0.000141601565892886)
(54.18785982583734, 0.000340532861786277)
(6.283185307179586, 6.07829745433899e-33)
(28.274333882308138, 6.07829745433899e-33)
(86.39379797371932, 2.0614807918503e-33)
(43.982297150257104, 6.07829745433899e-33)
(-62.04242549488138, 0.000259773148958224)
(65.97344572538566, 8.84341857594754e-34)
(-69.8968599047927, 0.000204673891035961)
(-88.7471755026564, 0.00012696298809482)
(182.99640592795572, 2.98615012381537e-5)
(-18.050311122187804, 0.00306688509963722)
(40.04906431447256, 0.000623372393201449)
(-15.707963267948966, 6.07829745433899e-33)
(97.3893722612836, 1.98565988844331e-32)
(-40.04906431447256, 0.000623372393201449)
(47.90406939343085, 0.000435720380410719)
(-25.908491243639833, 0.00148920345694367)
(36.12831551628262, 3.10814878906843e-32)
(51.83627878423159, 8.88538382793035e-35)
(91.88886446648316, 0.000118429902592062)
(73.82742735936014, 4.40924763787058e-33)
(21.991148575128552, 6.07829745433899e-33)
(2.246704728954532, 0.188761796903245)
(11.759726249344503, 0.00721807143425871)
(-55.758786123065505, 0.000321616601481826)
(-98.172223901556, 0.000103755583308482)
(-81.68140899333463, 9.21899983097992e-33)
(-19.622216180582097, 0.00259550573549089)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 14.1371669411541$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -7.85398163397448$$
$$x_{5} = -4.71238898038469$$
$$x_{6} = -59.6902604182061$$
$$x_{7} = -58.1194640914112$$
$$x_{8} = 95.8185759344887$$
$$x_{9} = 72.2566310325652$$
$$x_{10} = 80.1106126665397$$
$$x_{11} = 94.2477796076938$$
$$x_{12} = -14.1371669411541$$
$$x_{13} = 7.85398163397448$$
$$x_{14} = -29.845130209103$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 50.2654824574367$$
$$x_{18} = -45.553093477052$$
$$x_{19} = -21.9911485751286$$
$$x_{20} = -23.5619449019235$$
$$x_{21} = 58.1194640914112$$
$$x_{22} = -36.1283155162826$$
$$x_{23} = 87.9645943005142$$
$$x_{24} = -51.8362787842316$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = 64.4026493985908$$
$$x_{27} = 54.9778714378214$$
$$x_{28} = -95.8185759344887$$
$$x_{29} = -43.9822971502571$$
$$x_{30} = -37.6991118430775$$
$$x_{31} = 83.2522053201295$$
$$x_{32} = -65.9734457253857$$
$$x_{33} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{35} = 28.2743338823081$$
$$x_{36} = 86.3937979737193$$
$$x_{37} = 43.9822971502571$$
$$x_{38} = 65.9734457253857$$
$$x_{39} = -15.707963267949$$
$$x_{40} = 97.3893722612836$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = 51.8362787842316$$
$$x_{43} = 73.8274273593601$$
$$x_{44} = 21.9911485751286$$
$$x_{45} = -81.6814089933346$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{45} = -32.1935597952787$$
$$x_{45} = 10.1856514796438$$
$$x_{45} = -99.7430603324317$$
$$x_{45} = 25.9084912436398$$
$$x_{45} = -10.1856514796438$$
$$x_{45} = 98.172223901556$$
$$x_{45} = 76.1803402100956$$
$$x_{45} = -11.7597262493445$$
$$x_{45} = -47.9040693934309$$
$$x_{45} = 69.8968599047927$$
$$x_{45} = 46.3330961388114$$
$$x_{45} = -91.8888644664832$$
$$x_{45} = -63.6133213216672$$
$$x_{45} = 62.0424254948814$$
$$x_{45} = -41.6200962353617$$
$$x_{45} = 24.3370721159772$$
$$x_{45} = -76.1803402100956$$
$$x_{45} = 32.1935597952787$$
$$x_{45} = 90.3180208221014$$
$$x_{45} = -33.7647173885721$$
$$x_{45} = 68.3259813506395$$
$$x_{45} = -84.0346285545694$$
$$x_{45} = -77.7512028363303$$
$$x_{45} = -54.1878598258373$$
$$x_{45} = 18.0503111221878$$
$$x_{45} = -3.86262591846885$$
$$x_{45} = -85.6054794697228$$
$$x_{45} = -73.0386064020852$$
$$x_{45} = 3.86262591846885$$
$$x_{45} = 84.0346285545694$$
$$x_{45} = 54.1878598258373$$
$$x_{45} = -62.0424254948814$$
$$x_{45} = -69.8968599047927$$
$$x_{45} = -88.7471755026564$$
$$x_{45} = 182.996405927956$$
$$x_{45} = -18.0503111221878$$
$$x_{45} = 40.0490643144726$$
$$x_{45} = -40.0490643144726$$
$$x_{45} = 47.9040693934309$$
$$x_{45} = -25.9084912436398$$
$$x_{45} = 91.8888644664832$$
$$x_{45} = 2.24670472895453$$
$$x_{45} = 11.7597262493445$$
$$x_{45} = -55.7587861230655$$
$$x_{45} = -98.172223901556$$
$$x_{45} = -19.6222161805821$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3893722612836, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.8185759344887\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -82.0710758342297$$
$$x_{2} = -31.8008565620021$$
$$x_{3} = -65.5769124894133$$
$$x_{4} = -64.0060215114851$$
$$x_{5} = 12.1524595228673$$
$$x_{6} = -71.8604348025653$$
$$x_{7} = -61.6497252799133$$
$$x_{8} = 67.9332813332813$$
$$x_{9} = -85.9981791612576$$
$$x_{10} = -34.1574204485186$$
$$x_{11} = 49.8677323326222$$
$$x_{12} = 75.0021746777571$$
$$x_{13} = 20.0149272402287$$
$$x_{14} = -93.8524061131849$$
$$x_{15} = 100.135759862716$$
$$x_{16} = -371.099959212904$$
$$x_{17} = 45.9403950351415$$
$$x_{18} = 4.25567539383717$$
$$x_{19} = -45.9403950351415$$
$$x_{20} = 60.0788242244139$$
$$x_{21} = -17.6575991409616$$
$$x_{22} = 26.3011971304412$$
$$x_{23} = -9.79291367483562$$
$$x_{24} = 48.2967704375337$$
$$x_{25} = 17.6575991409616$$
$$x_{26} = 71.8604348025653$$
$$x_{27} = 88.354475864685$$
$$x_{28} = -27.872544264223$$
$$x_{29} = -73.4313063229403$$
$$x_{30} = -83.6419288528077$$
$$x_{31} = 52.2242251145784$$
$$x_{32} = -35.7285455660049$$
$$x_{33} = 22.3728597240698$$
$$x_{34} = 23.944365838359$$
$$x_{35} = 82.0710758342297$$
$$x_{36} = 85.9981791612576$$
$$x_{37} = 31.8008565620021$$
$$x_{38} = 114.273237849283$$
$$x_{39} = 64.0060215114851$$
$$x_{40} = -75.7876403747102$$
$$x_{41} = -804.640107847555$$
$$x_{42} = 66.36239886493$$
$$x_{43} = -97.7795243648304$$
$$x_{44} = -5.84492911022742$$
$$x_{45} = 96.2086866148385$$
$$x_{46} = -79.7147626291601$$
$$x_{47} = 5.84492911022742$$
$$x_{48} = 38.0853111535229$$
$$x_{49} = -43.5838125176113$$
$$x_{50} = -8.21762546804063$$
$$x_{51} = 92.2815640771125$$
$$x_{52} = -23.944365838359$$
$$x_{53} = 44.3694092186206$$
$$x_{54} = 78.1439026580296$$
$$x_{55} = -42.012797923496$$
$$x_{56} = -67.9332813332813$$
$$x_{57} = -100.135759862716$$
$$x_{58} = -78.1439026580296$$
$$x_{59} = 30.2296614668094$$
$$x_{60} = -57.722405745505$$
$$x_{61} = 56.1514866497177$$
$$x_{62} = 27.872544264223$$
$$x_{63} = -16.0854800417584$$
$$x_{64} = 9.00314185404346$$
$$x_{65} = -89.925321203218$$
$$x_{66} = -20.0149272402287$$
$$x_{67} = 34.1574204485186$$
$$x_{68} = 84.4273282692326$$
$$x_{69} = 74.2167749247976$$
$$x_{70} = -12.1524595228673$$
$$x_{71} = -13.7257526205464$$
$$x_{72} = -46.7257973194639$$
$$x_{73} = -75.0021746777571$$
$$x_{74} = -1.85361423202913$$
$$x_{75} = 18.4430244066163$$
$$x_{76} = -38.0853111535229$$
$$x_{77} = -56.1514866497177$$
$$x_{78} = 8.21762546804063$$
$$x_{79} = -87.5690280872476$$
$$x_{80} = 93.8524061131849$$
$$x_{81} = 1.85361423202913$$
$$x_{82} = 89.925321203218$$
$$x_{83} = 40.4417662132671$$
$$x_{84} = 62.4351257419098$$
$$x_{85} = 42.012797923496$$
$$x_{86} = 41.2273946534395$$
$$x_{87} = 70.2895599032518$$
$$x_{88} = -49.8677323326222$$
$$x_{89} = -39.6563625348882$$
$$x_{90} = 16.0854800417584$$
$$x_{91} = -91.4961648657217$$
$$x_{92} = -186.530720849044$$
$$x_{93} = -21.5866661033222$$
$$x_{94} = -60.0788242244139$$
$$x_{95} = 160.612371503873$$
$$x_{96} = -53.7951592616551$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{32}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{32}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[114.273237849283, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -804.640107847555\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -82.0710758342297$$
$$x_{2} = -31.8008565620021$$
$$x_{3} = -65.5769124894133$$
$$x_{4} = -64.0060215114851$$
$$x_{5} = 12.1524595228673$$
$$x_{6} = -71.8604348025653$$
$$x_{7} = -61.6497252799133$$
$$x_{8} = 67.9332813332813$$
$$x_{9} = -85.9981791612576$$
$$x_{10} = -34.1574204485186$$
$$x_{11} = 49.8677323326222$$
$$x_{12} = 75.0021746777571$$
$$x_{13} = 20.0149272402287$$
$$x_{14} = -93.8524061131849$$
$$x_{15} = 100.135759862716$$
$$x_{16} = -371.099959212904$$
$$x_{17} = 45.9403950351415$$
$$x_{18} = 4.25567539383717$$
$$x_{19} = -45.9403950351415$$
$$x_{20} = 60.0788242244139$$
$$x_{21} = -17.6575991409616$$
$$x_{22} = 26.3011971304412$$
$$x_{23} = -9.79291367483562$$
$$x_{24} = 48.2967704375337$$
$$x_{25} = 17.6575991409616$$
$$x_{26} = 71.8604348025653$$
$$x_{27} = 88.354475864685$$
$$x_{28} = -27.872544264223$$
$$x_{29} = -73.4313063229403$$
$$x_{30} = -83.6419288528077$$
$$x_{31} = 52.2242251145784$$
$$x_{32} = -35.7285455660049$$
$$x_{33} = 22.3728597240698$$
$$x_{34} = 23.944365838359$$
$$x_{35} = 82.0710758342297$$
$$x_{36} = 85.9981791612576$$
$$x_{37} = 31.8008565620021$$
$$x_{38} = 114.273237849283$$
$$x_{39} = 64.0060215114851$$
$$x_{40} = -75.7876403747102$$
$$x_{41} = -804.640107847555$$
$$x_{42} = 66.36239886493$$
$$x_{43} = -97.7795243648304$$
$$x_{44} = -5.84492911022742$$
$$x_{45} = 96.2086866148385$$
$$x_{46} = -79.7147626291601$$
$$x_{47} = 5.84492911022742$$
$$x_{48} = 38.0853111535229$$
$$x_{49} = -43.5838125176113$$
$$x_{50} = -8.21762546804063$$
$$x_{51} = 92.2815640771125$$
$$x_{52} = -23.944365838359$$
$$x_{53} = 44.3694092186206$$
$$x_{54} = 78.1439026580296$$
$$x_{55} = -42.012797923496$$
$$x_{56} = -67.9332813332813$$
$$x_{57} = -100.135759862716$$
$$x_{58} = -78.1439026580296$$
$$x_{59} = 30.2296614668094$$
$$x_{60} = -57.722405745505$$
$$x_{61} = 56.1514866497177$$
$$x_{62} = 27.872544264223$$
$$x_{63} = -16.0854800417584$$
$$x_{64} = 9.00314185404346$$
$$x_{65} = -89.925321203218$$
$$x_{66} = -20.0149272402287$$
$$x_{67} = 34.1574204485186$$
$$x_{68} = 84.4273282692326$$
$$x_{69} = 74.2167749247976$$
$$x_{70} = -12.1524595228673$$
$$x_{71} = -13.7257526205464$$
$$x_{72} = -46.7257973194639$$
$$x_{73} = -75.0021746777571$$
$$x_{74} = -1.85361423202913$$
$$x_{75} = 18.4430244066163$$
$$x_{76} = -38.0853111535229$$
$$x_{77} = -56.1514866497177$$
$$x_{78} = 8.21762546804063$$
$$x_{79} = -87.5690280872476$$
$$x_{80} = 93.8524061131849$$
$$x_{81} = 1.85361423202913$$
$$x_{82} = 89.925321203218$$
$$x_{83} = 40.4417662132671$$
$$x_{84} = 62.4351257419098$$
$$x_{85} = 42.012797923496$$
$$x_{86} = 41.2273946534395$$
$$x_{87} = 70.2895599032518$$
$$x_{88} = -49.8677323326222$$
$$x_{89} = -39.6563625348882$$
$$x_{90} = 16.0854800417584$$
$$x_{91} = -91.4961648657217$$
$$x_{92} = -186.530720849044$$
$$x_{93} = -21.5866661033222$$
$$x_{94} = -60.0788242244139$$
$$x_{95} = 160.612371503873$$
$$x_{96} = -53.7951592616551$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{32}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = - \frac{32}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[114.273237849283, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -804.640107847555\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)^2/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par