Sr Examen

Gráfico de la función y = -x+3*arctg(4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = -x + 3*atan(4*x)
$$f{\left(x \right)} = - x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
f = -x + 3*atan(4*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4.54763388792699$$
$$x_{3} = -4.54763388792699$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x + 3*atan(4*x).
$$- 0 + 3 \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 4 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-1 + \frac{12}{16 x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{11}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{11}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
    ____                        ____ 
 -\/ 11            /  ____\   \/ 11  
(--------, - 3*atan\\/ 11 / + ------)
    4                           4    

   ____                     ____ 
 \/ 11         /  ____\   \/ 11  
(------, 3*atan\\/ 11 / - ------)
   4                        4    


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{11}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{11}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{11}}{4}, \frac{\sqrt{11}}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{11}}{4}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{11}}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{384 x}{\left(16 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x + 3*atan(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} = x - 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
- No
$$- x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} = - x + 3 \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar