Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt((1+x)/(1-x))

Gráfico de la función y = sqrt((1+x)/(1-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______
          / 1 + x 
f(x) =   /  ----- 
       \/   1 - x
f(x)=x+11−xf{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} 
f = sqrt((x + 1)/(1 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+11−x=0\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((1 + x)/(1 - x)).
11−0\sqrt{\frac{1}{1 - 0}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+11−x(1−x)(12(1−x)+x+12(1−x)2)x+1=0\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} \left(1 - x\right) \left(\frac{1}{2 \left(1 - x\right)} + \frac{x + 1}{2 \left(1 - x\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x+1x−1(1−x+1x−1)(1−x+1x−1x+1−2x+1−2x−1)4(x+1)=0\frac{\sqrt{- \frac{x + 1}{x - 1}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−x+1x−1(1−x+1x−1)(1−x+1x−1x+1−2x+1−2x−1)4(x+1))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x + 1}{x - 1}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x + 1\right)}\right) = \infty
lim⁡x→1+(−x+1x−1(1−x+1x−1)(1−x+1x−1x+1−2x+1−2x−1)4(x+1))=∞i\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x + 1}{x - 1}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}\right)}{4 \left(x + 1\right)}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x+11−x=i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=iy = i
lim⁡x→∞x+11−x=i\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=iy = i
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((1 + x)/(1 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+11−xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+11−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+11−x=1−xx+1\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} = \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}
- No
x+11−x=−1−xx+1\sqrt{\frac{x + 1}{1 - x}} = - \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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