Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x+pi/6)

Gráfico de la función y = cos(x+pi/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cos|x + --|
          \    6 /
f(x)=cos⁡(x+π6)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} 
f = cos(x + pi/6)
Gráfico de la función
2.06.02.53.03.54.04.55.05.52-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π6)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−96.342174710087x_{1} = -96.342174710087
x2=45.0294947014537x_{2} = 45.0294947014537
x3=98.4365698124802x_{3} = 98.4365698124802
x4=−46.0766922526503x_{4} = -46.0766922526503
x5=−17.8023583703422x_{5} = -17.8023583703422
x6=85.870199198121x_{6} = 85.870199198121
x7=−71.2094334813686x_{7} = -71.2094334813686
x8=35.6047167406843x_{8} = 35.6047167406843
x9=−80.634211442138x_{9} = -80.634211442138
x10=79.5870138909414x_{10} = 79.5870138909414
x11=−99.4837673636768x_{11} = -99.4837673636768
x12=−83.7758040957278x_{12} = -83.7758040957278
x13=−93.2005820564972x_{13} = -93.2005820564972
x14=−33.5103216382911x_{14} = -33.5103216382911
x15=−5644.39480094966x_{15} = -5644.39480094966
x16=26.1799387799149x_{16} = 26.1799387799149
x17=4.18879020478639x_{17} = 4.18879020478639
x18=89.0117918517108x_{18} = 89.0117918517108
x19=92.1533845053006x_{19} = 92.1533845053006
x20=82.7286065445312x_{20} = 82.7286065445312
x21=−14.6607657167524x_{21} = -14.6607657167524
x22=67.0206432765823x_{22} = 67.0206432765823
x23=−55.5014702134197x_{23} = -55.5014702134197
x24=−20.943951023932x_{24} = -20.943951023932
x25=−36.6519142918809x_{25} = -36.6519142918809
x26=60.7374579694027x_{26} = 60.7374579694027
x27=48.1710873550435x_{27} = 48.1710873550435
x28=104.71975511966x_{28} = 104.71975511966
x29=76.4454212373516x_{29} = 76.4454212373516
x30=16.7551608191456x_{30} = 16.7551608191456
x31=−5.23598775598299x_{31} = -5.23598775598299
x32=−77.4926187885482x_{32} = -77.4926187885482
x33=7.33038285837618x_{33} = 7.33038285837618
x34=−11.5191730631626x_{34} = -11.5191730631626
x35=57.5958653158129x_{35} = 57.5958653158129
x36=73.3038285837618x_{36} = 73.3038285837618
x37=32.4631240870945x_{37} = 32.4631240870945
x38=13.6135681655558x_{38} = 13.6135681655558
x39=−24.0855436775217x_{39} = -24.0855436775217
x40=63.8790506229925x_{40} = 63.8790506229925
x41=10.471975511966x_{41} = 10.471975511966
x42=−2.0943951023932x_{42} = -2.0943951023932
x43=−52.3598775598299x_{43} = -52.3598775598299
x44=−30.3687289847013x_{44} = -30.3687289847013
x45=19.8967534727354x_{45} = 19.8967534727354
x46=−68.0678408277789x_{46} = -68.0678408277789
x47=95.2949771588904x_{47} = 95.2949771588904
x48=−27.2271363311115x_{48} = -27.2271363311115
x49=−64.9262481741891x_{49} = -64.9262481741891
x50=−90.0589894029074x_{50} = -90.0589894029074
x51=−49.2182849062401x_{51} = -49.2182849062401
x52=41.8879020478639x_{52} = 41.8879020478639
x53=54.4542726622231x_{53} = 54.4542726622231
x54=51.3126800086333x_{54} = 51.3126800086333
x55=23.0383461263252x_{55} = 23.0383461263252
x56=−61.7846555205993x_{56} = -61.7846555205993
x57=29.3215314335047x_{57} = 29.3215314335047
x58=−58.6430628670095x_{58} = -58.6430628670095
x59=70.162235930172x_{59} = 70.162235930172
x60=1.0471975511966x_{60} = 1.0471975511966
x61=−8.37758040957278x_{61} = -8.37758040957278
x62=−39.7935069454707x_{62} = -39.7935069454707
x63=−74.3510261349584x_{63} = -74.3510261349584
x64=38.7463093942741x_{64} = 38.7463093942741
x65=−86.9173967493176x_{65} = -86.9173967493176
x66=−42.9350995990605x_{66} = -42.9350995990605
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + pi/6).
cos⁡(π6)\cos{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π6)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  6       \6    6 / 

 5*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  6        \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π6)=0- \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π6)=cos⁡(x−π6)\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
cos⁡(x+π6)=−cos⁡(x−π6)\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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