Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x-pi/6)

Gráfico de la función y = cos(x-pi/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cos|x - --|
          \    6 /
f(x)=cos⁡(x−π6)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} 
f = cos(x - pi/6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x−π6)=0\cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−4939.63084899435x_{1} = -4939.63084899435
x2=30.3687289847013x_{2} = 30.3687289847013
x3=20.943951023932x_{3} = 20.943951023932
x4=−85.870199198121x_{4} = -85.870199198121
x5=36.6519142918809x_{5} = 36.6519142918809
x6=−92.1533845053006x_{6} = -92.1533845053006
x7=55.5014702134197x_{7} = 55.5014702134197
x8=64.9262481741891x_{8} = 64.9262481741891
x9=−79.5870138909414x_{9} = -79.5870138909414
x10=−54.4542726622231x_{10} = -54.4542726622231
x11=74.3510261349584x_{11} = 74.3510261349584
x12=−29.3215314335047x_{12} = -29.3215314335047
x13=−51.3126800086333x_{13} = -51.3126800086333
x14=−45.0294947014537x_{14} = -45.0294947014537
x15=52.3598775598299x_{15} = 52.3598775598299
x16=99.4837673636768x_{16} = 99.4837673636768
x17=77.4926187885482x_{17} = 77.4926187885482
x18=−19.8967534727354x_{18} = -19.8967534727354
x19=−154.985237577096x_{19} = -154.985237577096
x20=−13.6135681655558x_{20} = -13.6135681655558
x21=61.7846555205993x_{21} = 61.7846555205993
x22=11.5191730631626x_{22} = 11.5191730631626
x23=93.2005820564972x_{23} = 93.2005820564972
x24=33.5103216382911x_{24} = 33.5103216382911
x25=27.2271363311115x_{25} = 27.2271363311115
x26=80.634211442138x_{26} = 80.634211442138
x27=14.6607657167524x_{27} = 14.6607657167524
x28=−67.0206432765823x_{28} = -67.0206432765823
x29=−38.7463093942741x_{29} = -38.7463093942741
x30=−76.4454212373516x_{30} = -76.4454212373516
x31=39.7935069454707x_{31} = 39.7935069454707
x32=−95.2949771588904x_{32} = -95.2949771588904
x33=−23.0383461263252x_{33} = -23.0383461263252
x34=−57.5958653158129x_{34} = -57.5958653158129
x35=24.0855436775217x_{35} = 24.0855436775217
x36=5.23598775598299x_{36} = 5.23598775598299
x37=−32.4631240870945x_{37} = -32.4631240870945
x38=−63.8790506229925x_{38} = -63.8790506229925
x39=−26.1799387799149x_{39} = -26.1799387799149
x40=−70.162235930172x_{40} = -70.162235930172
x41=−60.7374579694027x_{41} = -60.7374579694027
x42=−16.7551608191456x_{42} = -16.7551608191456
x43=58.6430628670095x_{43} = 58.6430628670095
x44=−10.471975511966x_{44} = -10.471975511966
x45=46.0766922526503x_{45} = 46.0766922526503
x46=−48.1710873550435x_{46} = -48.1710873550435
x47=−98.4365698124802x_{47} = -98.4365698124802
x48=−73.3038285837618x_{48} = -73.3038285837618
x49=−4.18879020478639x_{49} = -4.18879020478639
x50=2.0943951023932x_{50} = 2.0943951023932
x51=17.8023583703422x_{51} = 17.8023583703422
x52=102.625360017267x_{52} = 102.625360017267
x53=−7.33038285837618x_{53} = -7.33038285837618
x54=49.2182849062401x_{54} = 49.2182849062401
x55=−89.0117918517108x_{55} = -89.0117918517108
x56=8.37758040957278x_{56} = 8.37758040957278
x57=83.7758040957278x_{57} = 83.7758040957278
x58=96.342174710087x_{58} = 96.342174710087
x59=−1.0471975511966x_{59} = -1.0471975511966
x60=71.2094334813686x_{60} = 71.2094334813686
x61=68.0678408277789x_{61} = 68.0678408277789
x62=−35.6047167406843x_{62} = -35.6047167406843
x63=86.9173967493176x_{63} = 86.9173967493176
x64=90.0589894029074x_{64} = 90.0589894029074
x65=−41.8879020478639x_{65} = -41.8879020478639
x66=−82.7286065445312x_{66} = -82.7286065445312
x67=42.9350995990605x_{67} = 42.9350995990605
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x - pi/6).
cos⁡(−π6)\cos{\left(- \frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−π6)=0- \sin{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=7π6x_{2} = \frac{7 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     /pi   pi\ 
(--, cos|-- - --|)
 6      \6    6 / 

 7*pi      /pi   pi\ 
(----, -cos|-- - --|)
  6        \6    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=7π6x_{1} = \frac{7 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]∪[7π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π6,7π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π3)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π3]∪[2π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π3,2π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x−π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x−π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x - pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x−π6)=cos⁡(x+π6)\cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}
- No
cos⁡(x−π6)=−cos⁡(x+π6)\cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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