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Trazado el gráfico de la función/ -exp(-t/2)-exp(-t/4)+8*(-10736-4950*t^2+1125*t^3+10920*t)*exp(t)/16875

Gráfico de la función y = -exp(-t/2)-exp(-t/4)+8*(-10736-4950*t^2+1125*t^3+10920*t)*exp(t)/16875

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -t     -t                                               
          ---    ---     /               2         3          \  t
           2      4    8*\-10736 - 4950*t  + 1125*t  + 10920*t/*e 
f(t) = - e    - e    + -------------------------------------------
                                          16875
f(t)=8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)f{\left(t \right)} = \frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right) 
f = ((8*(10920*t + 1125*t^3 - 4950*t^2 - 10736))*exp(t))/16875 - exp((-t)/2) - exp((-t)/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000010000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)=0\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución numérica
t1=1.99481900585875t_{1} = 1.99481900585875
t2=1.99481900585875t_{2} = 1.99481900585875
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en -exp((-t)/2) - exp((-t)/4) + ((8*(-10736 - 4950*t^2 + 1125*t^3 + 10920*t))*exp(t))/16875.
8(((−10736−4950⋅02)+1125⋅03)+0⋅10920)e016875+(−e(−1)02−e(−1)04)\frac{8 \left(\left(\left(-10736 - 4950 \cdot 0^{2}\right) + 1125 \cdot 0^{3}\right) + 0 \cdot 10920\right) e^{0}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) 0}{4}}\right)
Resultado:
f(0)=−11963816875f{\left(0 \right)} = - \frac{119638}{16875}
Punto:
(0, -119638/16875)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(27000t2−79200t+87360)et16875+e(−1)t22+e(−1)t44=0\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \frac{\left(27000 t^{2} - 79200 t + 87360\right) e^{t}}{16875} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
57600(15t−22)et+3840(225t2−660t+728)et+128(1125t3−4950t2+10920t−10736)et−67500e−t2−16875e−t4270000=0\frac{57600 \left(15 t - 22\right) e^{t} + 3840 \left(225 t^{2} - 660 t + 728\right) e^{t} + 128 \left(1125 t^{3} - 4950 t^{2} + 10920 t - 10736\right) e^{t} - 67500 e^{- \frac{t}{2}} - 16875 e^{- \frac{t}{4}}}{270000} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−1.33034208474908t_{1} = -1.33034208474908

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.33034208474908,∞)\left[-1.33034208474908, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.33034208474908]\left(-\infty, -1.33034208474908\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4))=−∞\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡t→∞(8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4))=∞\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp((-t)/2) - exp((-t)/4) + ((8*(-10736 - 4950*t^2 + 1125*t^3 + 10920*t))*exp(t))/16875, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)t)=∞\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right)}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡t→∞(8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)t)=∞\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right)}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)=(−9000t3−39600t2−87360t−85888)e−t16875−et4−et2\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right) = \frac{\left(- 9000 t^{3} - 39600 t^{2} - 87360 t - 85888\right) e^{- t}}{16875} - e^{\frac{t}{4}} - e^{\frac{t}{2}}
- No
8(10920t+(1125t3+(−4950t2−10736)))et16875+(−e(−1)t2−e(−1)t4)=−(−9000t3−39600t2−87360t−85888)e−t16875+et4+et2\frac{8 \left(10920 t + \left(1125 t^{3} + \left(- 4950 t^{2} - 10736\right)\right)\right) e^{t}}{16875} + \left(- e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}} - e^{\frac{\left(-1\right) t}{4}}\right) = - \frac{\left(- 9000 t^{3} - 39600 t^{2} - 87360 t - 85888\right) e^{- t}}{16875} + e^{\frac{t}{4}} + e^{\frac{t}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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