Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3-x)/exp(x)

Gráfico de la función y = (3-x)/exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 - x
f(x) = -----
          x 
         e
f(x)=3−xexf{\left(x \right)} = \frac{3 - x}{e^{x}} 
f = (3 - x)/exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010500000-250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3−xex=0\frac{3 - x}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=95.444927247289x_{1} = 95.444927247289
x2=40.0970717014418x_{2} = 40.0970717014418
x3=103.420862702525x_{3} = 103.420862702525
x4=117.387900375534x_{4} = 117.387900375534
x5=113.396350396671x_{5} = 113.396350396671
x6=121.380091923383x_{6} = 121.380091923383
x7=91.4588807455217x_{7} = 91.4588807455217
x8=59.664342946604x_{8} = 59.664342946604
x9=111.400841299949x_{9} = 111.400841299949
x10=34.2046743865559x_{10} = 34.2046743865559
x11=99.432316424891x_{11} = 99.432316424891
x12=49.8119589630405x_{12} = 49.8119589630405
x13=109.405524706139x_{13} = 109.405524706139
x14=83.4917816149558x_{14} = 83.4917816149558
x15=43.9557499214057x_{15} = 43.9557499214057
x16=57.6879649775293x_{16} = 57.6879649775293
x17=34.4578471962376x_{17} = 34.4578471962376
x18=101.426455152084x_{18} = 101.426455152084
x19=81.5012725708786x_{19} = 81.5012725708786
x20=36.3071598061728x_{20} = 36.3071598061728
x21=63.6232240789579x_{21} = 63.6232240789579
x22=87.4744046501982x_{22} = 87.4744046501982
x23=45.9008089996782x_{23} = 45.9008089996782
x24=51.7754697845928x_{24} = 51.7754697845928
x25=85.4828412467504x_{25} = 85.4828412467504
x26=97.4384664647568x_{26} = 97.4384664647568
x27=107.410413305772x_{27} = 107.410413305772
x28=30.9653321772927x_{28} = 30.9653321772927
x29=77.5221246603965x_{29} = 77.5221246603965
x30=3x_{30} = 3
x31=89.466430197318x_{31} = 89.466430197318
x32=55.714063380457x_{32} = 55.714063380457
x33=71.5591096232555x_{33} = 71.5591096232555
x34=119.383920620405x_{34} = 119.383920620405
x35=38.1905363866884x_{35} = 38.1905363866884
x36=61.642856145511x_{36} = 61.642856145511
x37=67.5886304003902x_{37} = 67.5886304003902
x38=42.020216210141x_{38} = 42.020216210141
x39=73.545912319012x_{39} = 73.545912319012
x40=79.51136695866x_{40} = 79.51136695866
x41=105.415520933891x_{41} = 105.415520933891
x42=69.5733090128955x_{42} = 69.5733090128955
x43=47.853370487631x_{43} = 47.853370487631
x44=32.6626982028378x_{44} = 32.6626982028378
x45=115.392040334004x_{45} = 115.392040334004
x46=93.4517230466241x_{46} = 93.4517230466241
x47=65.6052138551392x_{47} = 65.6052138551392
x48=53.7430576092052x_{48} = 53.7430576092052
x49=75.5336138177003x_{49} = 75.5336138177003
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3 - x)/exp(x).
3−0e0\frac{3 - 0}{e^{0}}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(3−x)e−x−e−x=0- \left(3 - x\right) e^{- x} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
      -4 
(4, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(5−x)e−x=0\left(5 - x\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,5]\left(-\infty, 5\right]
Convexa en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3−xex)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - x}{e^{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3−xex)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - x}{e^{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3 - x)/exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3−x)e−xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 - x\right) e^{- x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((3−x)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3−xex=(x+3)ex\frac{3 - x}{e^{x}} = \left(x + 3\right) e^{x}
- No
3−xex=−(x+3)ex\frac{3 - x}{e^{x}} = - \left(x + 3\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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