Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sin(2pix/3)+5)^1/3

Gráfico de la función y = (sin(2pix/3)+5)^1/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _________________
          /    /2*pi*x\     
f(x) = 3 /  sin|------| + 5 
       \/      \  3   /
f(x)=sin⁡(2πx3)+53f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} 
f = (sin(((2*pi)*x)/3) + 5)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.502.00
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2πx3)+53=0\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(((2*pi)*x)/3) + 5)^(1/3).
sin⁡(0⋅2π3)+53\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{0 \cdot 2 \pi}{3} \right)} + 5}
Resultado:
f(0)=53f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{5}
Punto:
(0, 5^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2πcos⁡(2πx3)9(sin⁡(2πx3)+5)23=0\frac{2 \pi \cos{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)}}{9 \left(\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
x2=94x_{2} = \frac{9}{4}
Signos de extremos en los puntos:
      3 ___ 
(3/4, \/ 6 )

       2/3 
(9/4, 2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=94x_{1} = \frac{9}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,34]∪[94,∞)\left(-\infty, \frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{9}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[34,94]\left[\frac{3}{4}, \frac{9}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4π2(3sin⁡(2πx3)+2cos⁡2(2πx3)sin⁡(2πx3)+5)81(sin⁡(2πx3)+5)23=0- \frac{4 \pi^{2} \left(3 \sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)}}{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5}\right)}{81 \left(\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3atan⁡(2174+154+671+52174)πx_{1} = - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} \right)}}{\pi}
x2=−3atan⁡(−671+52174+2174+154)πx_{2} = - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} + \frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} \right)}}{\pi}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3atan⁡(2174+154+671+52174)π,−3atan⁡(−671+52174+2174+154)π]\left[- \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} \right)}}{\pi}, - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} + \frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} \right)}}{\pi}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−3atan⁡(2174+154+671+52174)π]∪[−3atan⁡(−671+52174+2174+154)π,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} \right)}}{\pi}\right] \cup \left[- \frac{3 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{71 + 5 \sqrt{217}}}{4} + \frac{\sqrt{217}}{4} + \frac{15}{4} \right)}}{\pi}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(2πx3)+53=⟨223,63⟩\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} = \left\langle 2^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨223,63⟩y = \left\langle 2^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{6}\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(2πx3)+53=⟨223,63⟩\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} = \left\langle 2^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨223,63⟩y = \left\langle 2^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{6}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(((2*pi)*x)/3) + 5)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(sin⁡(2πx3)+53x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5}}{x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2πx3)+53x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2πx3)+53=5−sin⁡(2πx3)3\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} = \sqrt[3]{5 - \sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)}}
- No
sin⁡(2πx3)+53=−5−sin⁡(2πx3)3\sqrt[3]{\sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)} + 5} = - \sqrt[3]{5 - \sin{\left(\frac{2 \pi x}{3} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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