Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ arccos(1-cos(x))

Gráfico de la función y = arccos(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acos(1 - cos(x))
f(x)=acos⁡(1−cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = acos(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(1−cos⁡(x))=0\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1 - cos(x)).
acos⁡(1−cos⁡(0))\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)1−(1−cos⁡(x))2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
    pi 
(0, --)
    2  

(pi, acos(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)+(cos⁡(x)−1)sin⁡2(x)1−(1−cos⁡(x))21−(1−cos⁡(x))2=0\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{1 - \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(1−cos⁡(x))=acos⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=acos⁡(⟨0,2⟩)y = \operatorname{acos}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞acos⁡(1−cos⁡(x))=acos⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=acos⁡(⟨0,2⟩)y = \operatorname{acos}{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(1−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(1−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(1−cos⁡(x))=acos⁡(1−cos⁡(x))\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
acos⁡(1−cos⁡(x))=−acos⁡(1−cos⁡(x))\operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор