Sr Examen

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sqrt((x^2-x-2)/(x-2))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt((x^2-x-2)/(x-2))

Gráfico de la función y = sqrt((x^2-x-2)/(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ____________
           /  2         
          /  x  - x - 2 
f(x) =   /   ---------- 
       \/      x - 2
f(x)=(x2−x)−2x−2f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} 
f = sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−x)−2x−2=0\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2)).
−2+(02−0)−2\sqrt{\frac{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}{-2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x2−x)−2x−2(x−2)(2x−12(x−2)−(x2−x)−22(x−2)2)(x2−x)−2=0\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} \left(x - 2\right) \left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x - 2\right)} - \frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{2 \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−−x2+x+2x−2(−(2x−1)(2x−1+−x2+x+2x−2)2(−x2+x+2)+(2x−1+−x2+x+2x−2)24(−x2+x+2)−1+2x−1x−2−2x−1+−x2+x+2x−22(x−2)+−x2+x+2(x−2)2)−x2+x+2=0\frac{\sqrt{- \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}} \left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}\right)}{2 \left(- x^{2} + x + 2\right)} + \frac{\left(2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}\right)^{2}}{4 \left(- x^{2} + x + 2\right)} - 1 + \frac{2 x - 1}{x - 2} - \frac{2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{- x^{2} + x + 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−x)−2x−2=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−x)−2x−2=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−x)−2x−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−x)−2x−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−x)−2x−2=x2+x−2−x−2\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \sqrt{\frac{x^{2} + x - 2}{- x - 2}}
- No
(x2−x)−2x−2=−x2+x−2−x−2\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = - \sqrt{\frac{x^{2} + x - 2}{- x - 2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt((x^2-x-2)/(x-2))
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