Sr Examen

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sqrt((x^2-x-2)/(x-2))

Gráfico de la función y = sqrt((x^2-x-2)/(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ____________
           /  2         
          /  x  - x - 2 
f(x) =   /   ---------- 
       \/      x - 2    
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}}$$
f = sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2)).
$$\sqrt{\frac{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}{-2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} \left(x - 2\right) \left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x - 2\right)} - \frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{2 \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{- \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}} \left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}\right)}{2 \left(- x^{2} + x + 2\right)} + \frac{\left(2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}\right)^{2}}{4 \left(- x^{2} + x + 2\right)} - 1 + \frac{2 x - 1}{x - 2} - \frac{2 x - 1 + \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2}}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{- x^{2} + x + 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^2 - x - 2)/(x - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = \sqrt{\frac{x^{2} + x - 2}{- x - 2}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{\left(x^{2} - x\right) - 2}{x - 2}} = - \sqrt{\frac{x^{2} + x - 2}{- x - 2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt((x^2-x-2)/(x-2))