Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- e^(uno +cos(dos *x))
- e en el grado (1 más coseno de (2 multiplicar por x))
- e en el grado (uno más coseno de (dos multiplicar por x))
- e(1+cos(2*x))
- e1+cos2*x
- e^(1+cos(2x))
- e(1+cos(2x))
- e1+cos2x
- e^1+cos2x
-
Expresiones semejantes
- e^(1-cos(2*x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
Gráfico de la función y = e^(1+cos(2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
1 + cos(2*x) f(x) = E
$$f{\left(x \right)} = e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$
f = E^(cos(2*x) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (0, e )
-pi (----, 1) 2
pi (--, 1) 2
2 (pi, e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}} \right)}, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}} \right)}, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 1, e^{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(1 + cos(2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$
- Sí
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = - e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$
- Sí
$$e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1} = - e^{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$$
- No
es decir, función
es
par