Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp-exp^(-1/x)

Gráfico de la función y = exp-exp^(-1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             -1 
             ---
        x     x 
f(x) = e  - E
f(x)=ex−e−1xf{\left(x \right)} = e^{x} - e^{- \frac{1}{x}} 
f = exp(x) - E^(-1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−e−1x=0e^{x} - e^{- \frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x) - E^(-1/x).
−e−10+e0- e^{- \frac{1}{0}} + e^{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex−e−1xx2=0e^{x} - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
ex+2e−1xx3−e−1xx4=0e^{x} + \frac{2 e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−38713.6959163438x_{1} = -38713.6959163438
x2=−15829.6788313566x_{2} = -15829.6788313566
x3=0.329545076041446x_{3} = 0.329545076041446
x4=−32780.6306440145x_{4} = -32780.6306440145
x5=0.128513790124308x_{5} = 0.128513790124308
x6=−28542.7681732437x_{6} = -28542.7681732437
x7=−41256.4525181345x_{7} = -41256.4525181345
x8=−26847.6370204238x_{8} = -26847.6370204238
x9=−40408.8662068897x_{9} = -40408.8662068897
x10=−14134.729248906x_{10} = -14134.729248906
x11=−33628.2078852771x_{11} = -33628.2078852771
x12=−26000.0751709394x_{12} = -26000.0751709394
x13=−25152.5161360503x_{13} = -25152.5161360503
x14=−31085.48052493x_{14} = -31085.48052493
x15=−13287.278555532x_{15} = -13287.278555532
x16=−29390.3370520836x_{16} = -29390.3370520836
x17=−34475.7864395299x_{17} = -34475.7864395299
x18=−22609.8590326263x_{18} = -22609.8590326263
x19=−36170.9471216022x_{19} = -36170.9471216022
x20=−20067.2406387144x_{20} = -20067.2406387144
x21=−42104.0395446566x_{21} = -42104.0395446566
x22=−11592.4425720895x_{22} = -11592.4425720895
x23=−16677.1729258949x_{23} = -16677.1729258949
x24=−17524.6774514389x_{24} = -17524.6774514389
x25=−12439.8481955955x_{25} = -12439.8481955955
x26=−19219.7123808585x_{26} = -19219.7123808585
x27=−18372.1909931076x_{27} = -18372.1909931076
x28=−35323.3662132531x_{28} = -35323.3662132531
x29=−27695.201429547x_{29} = -27695.201429547
x30=−39561.2806564628x_{30} = -39561.2806564628
x31=−23457.4077112318x_{31} = -23457.4077112318
x32=−21762.3146082237x_{32} = -21762.3146082237
x33=−30237.9078887233x_{33} = -30237.9078887233
x34=−37018.5290874254x_{34} = -37018.5290874254
x35=−20914.7749461278x_{35} = -20914.7749461278
x36=−31933.0548190758x_{36} = -31933.0548190758
x37=−14982.1968951896x_{37} = -14982.1968951896
x38=−24304.9602057369x_{38} = -24304.9602057369
x39=−37866.1120404105x_{39} = -37866.1120404105
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(ex+2e−1xx3−e−1xx4)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(e^{x} + \frac{2 e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(ex+2e−1xx3−e−1xx4)=1\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} + \frac{2 e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}}\right) = 1
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.128513790124308]∪[0.329545076041446,∞)\left(-\infty, 0.128513790124308\right] \cup \left[0.329545076041446, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0.128513790124308,0.329545076041446]\left[0.128513790124308, 0.329545076041446\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−e−1x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} - e^{- \frac{1}{x}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(ex−e−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - e^{- \frac{1}{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x) - E^(-1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex−e−1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex−e−1xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−e−1x=−e1x+e−xe^{x} - e^{- \frac{1}{x}} = - e^{\frac{1}{x}} + e^{- x}
- No
ex−e−1x=e1x−e−xe^{x} - e^{- \frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}} - e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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