Sr Examen

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x^2-8*ln|x|
Trazado el gráfico de la función/ x^2-8*ln|x|

Gráfico de la función y = x^2-8*ln|x|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2             
f(x) = x  - 8*log(|x|)
$$f{\left(x \right)} = x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}$$ 
f = x^2 - 8*log(|x|)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - e^{- \frac{W\left(- \frac{1}{4}\right)}{2}}$$
$$x_{2} = e^{- \frac{W\left(- \frac{1}{4}\right)}{2}}$$
$$x_{3} = - e^{- \frac{W_{-1}\left(- \frac{1}{4}\right)}{2}}$$
$$x_{4} = e^{- \frac{W_{-1}\left(- \frac{1}{4}\right)}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.19566375905835$$
$$x_{2} = 1.19566375905835$$
$$x_{3} = -2.93482017446408$$
$$x_{4} = 2.93482017446408$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 8*log(|x|).
$$- 8 \log{\left(\left|{0}\right| \right)} + 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{8 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 4 - 8*log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 8*log(|x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Sí
$$x^{2} - 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = - x^{2} + 8 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-8*ln|x|
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