Sr Examen

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|sinx|/sinx
Trazado el gráfico de la función/ |sinx|/sinx

Gráfico de la función y = |sinx|/sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |sin(x)|
f(x) = --------
        sin(x)
f(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} 
f = Abs(sin(x))/sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=0\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)−cos⁡(x)∣sin⁡(x)∣sin⁡2(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−56x_{1} = -56
x2=18x_{2} = 18
x3=−66x_{3} = -66
x4=26x_{4} = 26
x5=−30x_{5} = -30
x6=70x_{6} = 70
x7=−28x_{7} = -28
x8=72x_{8} = 72
x9=96x_{9} = 96
x10=−81.95x_{10} = -81.95
x11=76x_{11} = 76
x12=−4x_{12} = -4
x13=−84x_{13} = -84
x14=−70x_{14} = -70
x15=38.25x_{15} = 38.25
x16=92.1666666666667x_{16} = 92.1666666666667
x17=−15.75x_{17} = -15.75
x18=80x_{18} = 80
x19=−7.75x_{19} = -7.75
x20=−74x_{20} = -74
x21=−26x_{21} = -26
x22=−80x_{22} = -80
x23=−54x_{23} = -54
x24=46.25x_{24} = 46.25
x25=−18x_{25} = -18
x26=52x_{26} = 52
x27=78.25x_{27} = 78.25
x28=−64x_{28} = -64
x29=44.25x_{29} = 44.25
x30=−94x_{30} = -94
x31=90x_{31} = 90
x32=36x_{32} = 36
x33=84x_{33} = 84
x34=88x_{34} = 88
x35=−21.75x_{35} = -21.75
x36=−59.75x_{36} = -59.75
x37=68x_{37} = 68
x38=−98x_{38} = -98
x39=8.25x_{39} = 8.25
x40=−99.75x_{40} = -99.75
x41=58x_{41} = 58
x42=14x_{42} = 14
x43=−77.75x_{43} = -77.75
x44=48x_{44} = 48
x45=−20x_{45} = -20
x46=22.2424242424242x_{46} = 22.2424242424242
x47=−52x_{47} = -52
x48=−40x_{48} = -40
x49=32x_{49} = 32
x50=−62x_{50} = -62
x51=50x_{51} = 50
x52=−37.75x_{52} = -37.75
x53=−43.6964285714286x_{53} = -43.6964285714286
x54=−91.75x_{54} = -91.75
x55=24.25x_{55} = 24.25
x56=40x_{56} = 40
x57=56x_{57} = 56
x58=−14x_{58} = -14
x59=16.1666666666667x_{59} = 16.1666666666667
x60=−58x_{60} = -58
x61=−48x_{61} = -48
x62=62x_{62} = 62
x63=−10x_{63} = -10
x64=−76x_{64} = -76
x65=86.5x_{65} = 86.5
x66=74x_{66} = 74
x67=2x_{67} = 2
x68=−33.5x_{68} = -33.5
x69=−42.25x_{69} = -42.25
x70=10x_{70} = 10
x71=−90x_{71} = -90
x72=−5.5x_{72} = -5.5
x73=60.25x_{73} = 60.25
x74=28x_{74} = 28
x75=−36x_{75} = -36
x76=−85.75x_{76} = -85.75
x77=98x_{77} = 98
x78=42.25x_{78} = 42.25
x79=34.0833333333333x_{79} = 34.0833333333333
x80=−50x_{80} = -50
x81=−45.7x_{81} = -45.7
x82=−68x_{82} = -68
x83=−32x_{83} = -32
x84=−2x_{84} = -2
x85=82.25x_{85} = 82.25
x86=4x_{86} = 4
x87=−23.4833333333333x_{87} = -23.4833333333333
x88=100.25x_{88} = 100.25
x89=64x_{89} = 64
x90=−12x_{90} = -12
x91=54x_{91} = 54
x92=−72x_{92} = -72
x93=−88x_{93} = -88
x94=5.96428571428571x_{94} = 5.96428571428571
x95=66x_{95} = 66
x96=30x_{96} = 30
x97=12x_{97} = 12
x98=94x_{98} = 94
x99=20x_{99} = 20
x100=−96x_{100} = -96
Signos de extremos en los puntos:
(-56, 1)

(18, -1)

(-66, 1)

(26, 1)

(-30, 1)

(70, 1)

(-28, -1)

(72, 1)

(96, 1)

(-81.95, -1)

(76, 1)

(-4, 1)

(-84, -1)

(-70, -1)

(38.25, 1)

(92.16666666666667, -1)

(-15.75, 1)

(80, -1)

(-7.75, -1)

(-74, 1)

(-26, -1)

(-80, 1)

(-54, 1)

(46.25, 1)

(-18, 1)

(52, 1)

(78.25, 1)

(-64, -1)

(44.25, 1)

(-94, 1)

(90, 1)

(36, -1)

(84, 1)

(88, 1)

(-21.75, -1)

(-59.75, 1)

(68, -1)

(-98, 1)

(8.25, 1)

(-99.75, 1)

(58, 1)

(14, 1)

(-77.75, -1)

(48, -1)

(-20, -1)

(22.242424242424242, -1)

(-52, -1)

(-40, -1)

(32, 1)

(-62, 1)

(50, -1)

(-37.75, -1)

(-43.69642857142857, 1)

(-91.75, 1)

(24.25, -1)

(40, 1)

(56, -1)

(-14, -1)

(16.166666666666668, -1)

(-58, -1)

(-48, 1)

(62, -1)

(-10, 1)

(-76, -1)

(86.5, -1)

(74, -1)

(2, 1)

(-33.5, -1)

(-42.25, 1)

(10, -1)

(-90, -1)

(-5.5, 1)

(60.25, -1)

(28, 1)

(-36, 1)

(-85.75, 1)

(98, -1)

(42.25, -1)

(34.083333333333336, 1)

(-50, 1)

(-45.7, -1)

(-68, 1)

(-32, -1)

(-2, -1)

(82.25, 1)

(4, -1)

(-23.483333333333334, 1)

(100.25, -1)

(64, 1)

(-12, 1)

(54, -1)

(-72, -1)

(-88, -1)

(5.964285714285714, -1)

(66, -1)

(30, -1)

(12, -1)

(94, -1)

(20, 1)

(-96, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=96x_{1} = 96
x2=−4x_{2} = -4
x3=−70x_{3} = -70
x4=−74x_{4} = -74
x5=−94x_{5} = -94
x6=36x_{6} = 36
x7=58x_{7} = 58
x8=32x_{8} = 32
x9=−33.5x_{9} = -33.5
Puntos máximos de la función:
x9=70x_{9} = 70
x9=−7.75x_{9} = -7.75
x9=−58x_{9} = -58
x9=74x_{9} = 74
x9=−36x_{9} = -36
x9=−32x_{9} = -32
x9=4x_{9} = 4
x9=94x_{9} = 94
x9=−96x_{9} = -96
Decrece en los intervalos
[96,∞)\left[96, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−94]\left(-\infty, -94\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))∣sin⁡(x)∣−sin⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))+2cos⁡2(x)δ(sin⁡(x))−2cos⁡2(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(sin(x))/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=−∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- No
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |sinx|/sinx
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