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y=-2sin(2x+(pi/3))+3
Trazado el gráfico de la función/ y=-2sin(2x+(pi/3))+3

Gráfico de la función y = y=-2sin(2x+(pi/3))+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /      pi\    
f(x) = - 2*sin|2*x + --| + 3
              \      3 /
f(x)=3−2sin⁡(2x+π3)f{\left(x \right)} = 3 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} 
f = 3 - 2*sin(2*x + pi/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3−2sin⁡(2x+π3)=03 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*sin(2*x + pi/3) + 3.
3−2sin⁡(0⋅2+π3)3 - 2 \sin{\left(0 \cdot 2 + \frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=3−3f{\left(0 \right)} = 3 - \sqrt{3}
Punto:
(0, 3 - sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4cos⁡(2x+π3)=0- 4 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
x2=7π12x_{2} = \frac{7 \pi}{12}
Signos de extremos en los puntos:
 pi           /pi   pi\ 
(--, 3 - 2*sin|-- + --|)
 12           \6    3 / 

 7*pi           /pi   pi\ 
(----, 3 + 2*sin|-- + --|)
  12            \6    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
Puntos máximos de la función:
x1=7π12x_{1} = \frac{7 \pi}{12}
Decrece en los intervalos
[π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π12]∪[7π12,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{12}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8sin⁡(2x+π3)=08 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π6,π3]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π6]∪[π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3−2sin⁡(2x+π3))=⟨1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle 1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,5⟩y = \left\langle 1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(3−2sin⁡(2x+π3))=⟨1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle 1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,5⟩y = \left\langle 1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*sin(2*x + pi/3) + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3−2sin⁡(2x+π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3−2sin⁡(2x+π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3−2sin⁡(2x+π3)=2sin⁡(2x−π3)+33 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 2 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} + 3
- No
3−2sin⁡(2x+π3)=−2sin⁡(2x−π3)−33 - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = - 2 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=-2sin(2x+(pi/3))+3
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