Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29.9118938695518$$
$$x_{2} = 48.7357007949054$$
$$x_{3} = 86.4169374541167$$
$$x_{4} = 95.839441141233$$
$$x_{5} = 83.2762171649775$$
$$x_{6} = -51.8748140534268$$
$$x_{7} = 36.1835330907526$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = 51.8748140534268$$
$$x_{10} = 67.573830670859$$
$$x_{11} = 33.0471686947054$$
$$x_{12} = 8.09616360322292$$
$$x_{13} = -26.7780870755585$$
$$x_{14} = 5.08698509410227$$
$$x_{15} = -55.0142096788381$$
$$x_{16} = -92.6985552433969$$
$$x_{17} = 61.2936749662429$$
$$x_{18} = 11.17270586833$$
$$x_{19} = 20.5175229099417$$
$$x_{20} = -36.1835330907526$$
$$x_{21} = -23.6463238196036$$
$$x_{22} = -58.153842078645$$
$$x_{23} = -20.5175229099417$$
$$x_{24} = 70.7141100665485$$
$$x_{25} = 45.5969279840735$$
$$x_{26} = 14.2763529183365$$
$$x_{27} = 42.458570771699$$
$$x_{28} = -5.08698509410227$$
$$x_{29} = -29.9118938695518$$
$$x_{30} = 98.9803718651523$$
$$x_{31} = -42.458570771699$$
$$x_{32} = -80.1355651940744$$
$$x_{33} = -89.5577188827244$$
$$x_{34} = -11.17270586833$$
$$x_{35} = 2.2889297281034$$
$$x_{36} = -48.7357007949054$$
$$x_{37} = -17.3932439645948$$
$$x_{38} = -120.967848975693$$
$$x_{39} = 92.6985552433969$$
$$x_{40} = 39.3207281322521$$
$$x_{41} = -39.3207281322521$$
$$x_{42} = -83.2762171649775$$
$$x_{43} = 73.8545010149048$$
$$x_{44} = 58.153842078645$$
$$x_{45} = -8.09616360322292$$
$$x_{46} = -76.9949898891676$$
$$x_{47} = 64.4336791037316$$
$$x_{48} = -64.4336791037316$$
$$x_{49} = 89.5577188827244$$
$$x_{50} = 55.0142096788381$$
$$x_{51} = -33.0471686947054$$
$$x_{52} = -67.573830670859$$
$$x_{53} = 80.1355651940744$$
$$x_{54} = 76.9949898891676$$
$$x_{55} = -70.7141100665485$$
$$x_{56} = -61.2936749662429$$
$$x_{57} = 17.3932439645948$$
$$x_{58} = 26.7780870755585$$
$$x_{59} = -14.2763529183365$$
$$x_{60} = -98.9803718651523$$
$$x_{61} = 23.6463238196036$$
$$x_{62} = -86.4169374541167$$
$$x_{63} = -73.8545010149048$$
$$x_{64} = -45.5969279840735$$
$$x_{65} = 3.95930141892882 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{66} = -2.2889297281034$$
$$x_{67} = -95.839441141233$$
Signos de extremos en los puntos:
(29.911893869551772, -1785.45615195047)
(48.73570079490539, -4746.34210913418)
(86.4169374541167, -14931.7757640607)
(95.83944114123304, 18366.3982625035)
(83.27621716497754, 13865.8584201569)
(-51.874814053426775, -5377.99711995352)
(36.18353309075258, -2614.50527615227)
(0, 0)
(51.874814053426775, 5377.99711995352)
(67.573830670859, -9128.44780914367)
(33.04716869470536, 2180.24167189308)
(8.096163603222921, 127.269963903109)
(-26.778087075558506, -1430.14855229942)
(5.08698509410227, -48.1659204461367)
(-55.01420967883812, 6049.13049370577)
(-92.69855524339692, 17182.0456843666)
(61.2936749662429, -7509.83237301393)
(11.172705868329984, -245.752347027832)
(20.51752290994169, 837.965774544867)
(-36.18353309075258, 2614.50527615227)
(-23.64632381960362, 1114.31859441805)
(-58.153842078645, -6759.74224185558)
(-20.51752290994169, -837.965774544867)
(70.7141100665485, 9996.97312317635)
(45.59692798407349, 4154.16544571548)
(14.276352918336478, 403.686435763722)
(42.458570771699044, -3601.4671082363)
(-5.08698509410227, 48.1659204461367)
(-29.911893869551772, 1785.45615195047)
(98.98037186515228, -19590.2292535616)
(-42.458570771699044, 3601.4671082363)
(-80.13556519407445, 12839.4194856396)
(-89.55771888272442, -16037.1715184829)
(-11.172705868329984, 245.752347027832)
(2.2889297281034042, 7.89060325056865)
(-48.73570079490539, 4746.34210913418)
(-17.393243964594753, 601.089105315992)
(-120.96784897569329, -29262.4417914774)
(92.69855524339692, -17182.0456843666)
(39.32072813225213, 3088.24706637139)
(-39.32072813225213, -3088.24706637139)
(-83.27621716497754, -13865.8584201569)
(73.85450101490484, -10904.976839001)
(58.153842078645, 6759.74224185558)
(-8.096163603222921, -127.269963903109)
(-76.9949898891676, -11852.458959142)
(64.43367910373156, 8299.40089374957)
(-64.43367910373156, -8299.40089374957)
(89.55771888272442, 16037.1715184829)
(55.01420967883812, -6049.13049370577)
(-33.04716869470536, -2180.24167189308)
(-67.573830670859, 9128.44780914367)
(80.13556519407445, -12839.4194856396)
(76.9949898891676, 11852.458959142)
(-70.7141100665485, -9996.97312317635)
(-61.2936749662429, 7509.83237301393)
(17.393243964594753, -601.089105315992)
(26.778087075558506, 1430.14855229942)
(-14.276352918336478, -403.686435763722)
(-98.98037186515228, 19590.2292535616)
(23.64632381960362, -1114.31859441805)
(-86.4169374541167, 14931.7757640607)
(-73.85450101490484, 10904.976839001)
(-45.59692798407349, -4154.16544571548)
(3.9593014189288195e-07, 1.24132554381009e-19)
(-2.2889297281034042, -7.89060325056865)
(-95.83944114123304, -18366.3982625035)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 29.9118938695518$$
$$x_{2} = 48.7357007949054$$
$$x_{3} = 86.4169374541167$$
$$x_{4} = -51.8748140534268$$
$$x_{5} = 36.1835330907526$$
$$x_{6} = 67.573830670859$$
$$x_{7} = -26.7780870755585$$
$$x_{8} = 5.08698509410227$$
$$x_{9} = 61.2936749662429$$
$$x_{10} = 11.17270586833$$
$$x_{11} = -58.153842078645$$
$$x_{12} = -20.5175229099417$$
$$x_{13} = 42.458570771699$$
$$x_{14} = 98.9803718651523$$
$$x_{15} = -89.5577188827244$$
$$x_{16} = -120.967848975693$$
$$x_{17} = 92.6985552433969$$
$$x_{18} = -39.3207281322521$$
$$x_{19} = -83.2762171649775$$
$$x_{20} = 73.8545010149048$$
$$x_{21} = -8.09616360322292$$
$$x_{22} = -76.9949898891676$$
$$x_{23} = -64.4336791037316$$
$$x_{24} = 55.0142096788381$$
$$x_{25} = -33.0471686947054$$
$$x_{26} = 80.1355651940744$$
$$x_{27} = -70.7141100665485$$
$$x_{28} = 17.3932439645948$$
$$x_{29} = -14.2763529183365$$
$$x_{30} = 23.6463238196036$$
$$x_{31} = -45.5969279840735$$
$$x_{32} = -2.2889297281034$$
$$x_{33} = -95.839441141233$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = 95.839441141233$$
$$x_{33} = 83.2762171649775$$
$$x_{33} = 51.8748140534268$$
$$x_{33} = 33.0471686947054$$
$$x_{33} = 8.09616360322292$$
$$x_{33} = -55.0142096788381$$
$$x_{33} = -92.6985552433969$$
$$x_{33} = 20.5175229099417$$
$$x_{33} = -36.1835330907526$$
$$x_{33} = -23.6463238196036$$
$$x_{33} = 70.7141100665485$$
$$x_{33} = 45.5969279840735$$
$$x_{33} = 14.2763529183365$$
$$x_{33} = -5.08698509410227$$
$$x_{33} = -29.9118938695518$$
$$x_{33} = -42.458570771699$$
$$x_{33} = -80.1355651940744$$
$$x_{33} = -11.17270586833$$
$$x_{33} = 2.2889297281034$$
$$x_{33} = -48.7357007949054$$
$$x_{33} = -17.3932439645948$$
$$x_{33} = 39.3207281322521$$
$$x_{33} = 58.153842078645$$
$$x_{33} = 64.4336791037316$$
$$x_{33} = 89.5577188827244$$
$$x_{33} = -67.573830670859$$
$$x_{33} = 76.9949898891676$$
$$x_{33} = -61.2936749662429$$
$$x_{33} = 26.7780870755585$$
$$x_{33} = -98.9803718651523$$
$$x_{33} = -86.4169374541167$$
$$x_{33} = -73.8545010149048$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9803718651523, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -120.967848975693\right]$$