Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)^9

Gráfico de la función y = sin(x)^9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          9   
f(x) = sin (x)
f(x)=sin⁡9(x)f{\left(x \right)} = \sin^{9}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡9(x)=0\sin^{9}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−28.2477328398739x_{1} = -28.2477328398739
x2=56.5219789197166x_{2} = 56.5219789197166
x3=−87.9680978516598x_{3} = -87.9680978516598
x4=−15.7117964791255x_{4} = -15.7117964791255
x5=−53.4087098348563x_{5} = -53.4087098348563
x6=78.5138843156539x_{6} = 78.5138843156539
x7=−21.9920246662196x_{7} = -21.9920246662196
x8=94.2479821492774x_{8} = 94.2479821492774
x9=28.2721144306237x_{9} = 28.2721144306237
x10=−50.2396994997253x_{10} = -50.2396994997253
x11=−97.4316669997228x_{11} = -97.4316669997228
x12=−59.6957059649496x_{12} = -59.6957059649496
x13=43.9840492515016x_{13} = 43.9840492515016
x14=−81.6876599817826x_{14} = -81.6876599817826
x15=6.28015883558255x_{15} = 6.28015883558255
x16=−31.4456085636977x_{16} = -31.4456085636977
x17=87.9491418141617x_{17} = 87.9491418141617
x18=−75.4293805501721x_{18} = -75.4293805501721
x19=81.712030147698x_{19} = 81.712030147698
x20=37.7281395604527x_{20} = 37.7281395604527
x21=−97.4212607937406x_{21} = -97.4212607937406
x22=34.5300768389344x_{22} = 34.5300768389344
x23=78.4978230725905x_{23} = 78.4978230725905
x24=50.2640702310753x_{24} = 50.2640702310753
x25=3.10752999144077x_{25} = 3.10752999144077
x26=−6.25577068137655x_{26} = -6.25577068137655
x27=65.9760736748862x_{27} = 65.9760736748862
x28=0x_{28} = 0
x29=−43.984049251499x_{29} = -43.984049251499
x30=100.505792928935x_{30} = 100.505792928935
x31=−72.2316705101047x_{31} = -72.2316705101047
x32=21.9920246662196x_{32} = 21.9920246662196
x33=−37.703751438092x_{33} = -37.703751438092
x34=−94.2236457138391x_{34} = -94.2236457138391
x35=59.7200873743091x_{35} = 59.7200873743091
x36=12.5381781691526x_{36} = 12.5381781691526
x37=72.2560261621947x_{37} = 72.2560261621947
x38=15.736186831378x_{38} = 15.736186831378
x39=87.9680978552258x_{39} = 87.9680978552258
x40=−65.9760736747134x_{40} = -65.9760736747134
x41=−9.45371699572448x_{41} = -9.45371699572448
x42=−53.4374964446261x_{42} = -53.4374964446261
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^9.
sin⁡9(0)\sin^{9}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9sin⁡8(x)cos⁡(x)=09 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(−sin⁡2(x)+8cos⁡2(x))sin⁡7(x)=09 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{7}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(22)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x3=2atan⁡(22)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x4=−2atan⁡(2)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}
x5=2atan⁡(2)x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(2),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡9(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{9}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡9(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{9}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡9(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡9(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡9(x)=−sin⁡9(x)\sin^{9}{\left(x \right)} = - \sin^{9}{\left(x \right)}
- No
sin⁡9(x)=sin⁡9(x)\sin^{9}{\left(x \right)} = \sin^{9}{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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