Sr Examen

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sin(5*x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(5*x)

Gráfico de la función y = sin(5*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(5*x)
f(x)=sin⁡(5x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} 
f = sin(5*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(5x)=0\sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}
Solución numérica
x1=−71.6283125018473x_{1} = -71.6283125018473
x2=−57.8053048260522x_{2} = -57.8053048260522
x3=−86.0796387083603x_{3} = -86.0796387083603
x4=−10.0530964914873x_{4} = -10.0530964914873
x5=89.2212313619501x_{5} = 89.2212313619501
x6=−69.7433569096934x_{6} = -69.7433569096934
x7=−11.9380520836412x_{7} = -11.9380520836412
x8=33.9292006587698x_{8} = 33.9292006587698
x9=38.3274303737955x_{9} = 38.3274303737955
x10=42.0973415581032x_{10} = 42.0973415581032
x11=−21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=40.2123859659494x_{12} = 40.2123859659494
x13=−49.6371639267187x_{13} = -49.6371639267187
x14=−81.6814089933346x_{14} = -81.6814089933346
x15=55.9203492338983x_{15} = 55.9203492338983
x16=5.65486677646163x_{16} = 5.65486677646163
x17=96.1327351998477x_{17} = 96.1327351998477
x18=−96.1327351998477x_{18} = -96.1327351998477
x19=−59.6902604182061x_{19} = -59.6902604182061
x20=−43.9822971502571x_{20} = -43.9822971502571
x21=189.752196276824x_{21} = 189.752196276824
x22=64.0884901332318x_{22} = 64.0884901332318
x23=99.9026463841554x_{23} = 99.9026463841554
x24=52.1504380495906x_{24} = 52.1504380495906
x25=43.9822971502571x_{25} = 43.9822971502571
x26=18.2212373908208x_{26} = 18.2212373908208
x27=16.3362817986669x_{27} = 16.3362817986669
x28=1.88495559215388x_{28} = 1.88495559215388
x29=−15.707963267949x_{29} = -15.707963267949
x30=48.3805268652828x_{30} = 48.3805268652828
x31=−64.0884901332318x_{31} = -64.0884901332318
x32=0x_{32} = 0
x33=11.3097335529233x_{33} = 11.3097335529233
x34=−54.0353936417444x_{34} = -54.0353936417444
x35=−65.9734457253857x_{35} = -65.9734457253857
x36=−47.7522083345649x_{36} = -47.7522083345649
x37=−32.0442450666159x_{37} = -32.0442450666159
x38=70.3716754404114x_{38} = 70.3716754404114
x39=11.9380520836412x_{39} = 11.9380520836412
x40=30.159289474462x_{40} = 30.159289474462
x41=52.7787565803085x_{41} = 52.7787565803085
x42=10.0530964914873x_{42} = 10.0530964914873
x43=101.159283445591x_{43} = 101.159283445591
x44=−23.8761041672824x_{44} = -23.8761041672824
x45=92.3628240155399x_{45} = 92.3628240155399
x46=−93.6194610769758x_{46} = -93.6194610769758
x47=−35.8141562509236x_{47} = -35.8141562509236
x48=74.1415866247191x_{48} = 74.1415866247191
x49=−3.76991118430775x_{49} = -3.76991118430775
x50=26.3893782901543x_{50} = 26.3893782901543
x51=28.2743338823081x_{51} = 28.2743338823081
x52=65.9734457253857x_{52} = 65.9734457253857
x53=84.1946831162065x_{53} = 84.1946831162065
x54=67.8584013175395x_{54} = 67.8584013175395
x55=20.1061929829747x_{55} = 20.1061929829747
x56=−91.734505484822x_{56} = -91.734505484822
x57=82.3097275240526x_{57} = 82.3097275240526
x58=−87.9645943005142x_{58} = -87.9645943005142
x59=−33.9292006587698x_{59} = -33.9292006587698
x60=−20.1061929829747x_{60} = -20.1061929829747
x61=−77.9114978090269x_{61} = -77.9114978090269
x62=−5.65486677646163x_{62} = -5.65486677646163
x63=94.2477796076938x_{63} = 94.2477796076938
x64=−67.8584013175395x_{64} = -67.8584013175395
x65=98.0176907920015x_{65} = 98.0176907920015
x66=32.0442450666159x_{66} = 32.0442450666159
x67=72.2566310325652x_{67} = 72.2566310325652
x68=−76.026542216873x_{68} = -76.026542216873
x69=−25.7610597594363x_{69} = -25.7610597594363
x70=−98.0176907920015x_{70} = -98.0176907920015
x71=−89.8495498926681x_{71} = -89.8495498926681
x72=−13.8230076757951x_{72} = -13.8230076757951
x73=−45.867252742411x_{73} = -45.867252742411
x74=−74.1415866247191x_{74} = -74.1415866247191
x75=8.16814089933346x_{75} = 8.16814089933346
x76=6.28318530717959x_{76} = 6.28318530717959
x77=23.8761041672824x_{77} = 23.8761041672824
x78=21.9911485751286x_{78} = 21.9911485751286
x79=87.9645943005142x_{79} = 87.9645943005142
x80=54.0353936417444x_{80} = 54.0353936417444
x81=50.2654824574367x_{81} = 50.2654824574367
x82=−1.88495559215388x_{82} = -1.88495559215388
x83=−55.9203492338983x_{83} = -55.9203492338983
x84=76.026542216873x_{84} = 76.026542216873
x85=−99.9026463841554x_{85} = -99.9026463841554
x86=62.2035345410779x_{86} = 62.2035345410779
x87=45.867252742411x_{87} = 45.867252742411
x88=−79.7964534011807x_{88} = -79.7964534011807
x89=−37.6991118430775x_{89} = -37.6991118430775
x90=−52.7787565803085x_{90} = -52.7787565803085
x91=5.02654824574367x_{91} = 5.02654824574367
x92=60.318578948924x_{92} = 60.318578948924
x93=77.9114978090269x_{93} = 77.9114978090269
x94=−27.6460153515902x_{94} = -27.6460153515902
x95=86.0796387083603x_{95} = 86.0796387083603
x96=−42.0973415581032x_{96} = -42.0973415581032
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(5*x).
sin⁡(0⋅5)\sin{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5cos⁡(5x)=05 \cos{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
x2=3π10x_{2} = \frac{3 \pi}{10}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 10    

 3*pi     
(----, -1)
  10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π10x_{1} = \frac{3 \pi}{10}
Puntos máximos de la función:
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,π10]∪[3π10,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π10,3π10]\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−25sin⁡(5x)=0- 25 \sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π5,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π5]\left[0, \frac{\pi}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(5x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(5x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(5x)=−sin⁡(5x)\sin{\left(5 x \right)} = - \sin{\left(5 x \right)}
- No
sin⁡(5x)=sin⁡(5x)\sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(5*x)
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