Sr Examen

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Gráfico de la función y = ln((2x+sqrt(3x+1))/(2x-sqrt(3x+1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /        _________\
          |2*x + \/ 3*x + 1 |
f(x) = log|-----------------|
          |        _________|
          \2*x - \/ 3*x + 1 /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)}$$
f = log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1))).
$$\log{\left(\frac{0 \cdot 2 + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}}{- \sqrt{0 \cdot 3 + 1} + 0 \cdot 2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = i \pi$$
Punto:
(0, pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right) \left(\frac{\left(-2 + \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right)^{2}} + \frac{2 + \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x + \sqrt{3 x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
          /            2\ 
          |9*(-4/3 + I) | 
(-2/3, log|-------------|)
          \      25     / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)^{2} \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right)^{2}} - \frac{2 \left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(4 + \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(\frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - 4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} + \frac{\left(4 + \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(\frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - 4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x + \sqrt{3 x + 1}} - \frac{9}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = \log{\left(\frac{- 2 x + \sqrt{1 - 3 x}}{- 2 x - \sqrt{1 - 3 x}} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = - \log{\left(\frac{- 2 x + \sqrt{1 - 3 x}}{- 2 x - \sqrt{1 - 3 x}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar