Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln((2x+sqrt(3x+1))/(2x-sqrt(3x+1)))

Gráfico de la función y = ln((2x+sqrt(3x+1))/(2x-sqrt(3x+1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /        _________\
          |2*x + \/ 3*x + 1 |
f(x) = log|-----------------|
          |        _________|
          \2*x - \/ 3*x + 1 /
f(x)=log⁡(2x+3x+12x−3x+1)f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} 
f = log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1))).
log⁡(0⋅2+0⋅3+1−0⋅3+1+0⋅2)\log{\left(\frac{0 \cdot 2 + \sqrt{0 \cdot 3 + 1}}{- \sqrt{0 \cdot 3 + 1} + 0 \cdot 2} \right)}
Resultado:
f(0)=iπf{\left(0 \right)} = i \pi
Punto:
(0, pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−3x+1)((−2+323x+1)(2x+3x+1)(2x−3x+1)2+2+323x+12x−3x+1)2x+3x+1=0\frac{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right) \left(\frac{\left(-2 + \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right)^{2}} + \frac{2 + \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x + \sqrt{3 x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
          /            2\ 
          |9*(-4/3 + I) | 
(-2/3, log|-------------|)
          \      25     /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4−33x+1)2(2x+3x+1)(2x−3x+1)2−2(4−33x+1)(4+33x+1)2x−3x+1−(4−33x+1)((4−33x+1)(2x+3x+1)2x−3x+1−4−33x+1)2x−3x+1+(4+33x+1)((4−33x+1)(2x+3x+1)2x−3x+1−4−33x+1)2x+3x+1−9(3x+1)32−9(2x+3x+1)(2x−3x+1)(3x+1)324(2x+3x+1)=0\frac{\frac{2 \left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)^{2} \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right)^{2}} - \frac{2 \left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(4 + \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(\frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - 4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} + \frac{\left(4 + \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(\frac{\left(4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right) \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} - 4 - \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}\right)}{2 x + \sqrt{3 x + 1}} - \frac{9}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\left(2 x - \sqrt{3 x + 1}\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(2 x + \sqrt{3 x + 1}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2x+3x+12x−3x+1)=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(2x+3x+12x−3x+1)=0\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((2*x + sqrt(3*x + 1))/(2*x - sqrt(3*x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2x+3x+12x−3x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2x+3x+12x−3x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2x+3x+12x−3x+1)=log⁡(−2x+1−3x−2x−1−3x)\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = \log{\left(\frac{- 2 x + \sqrt{1 - 3 x}}{- 2 x - \sqrt{1 - 3 x}} \right)}
- No
log⁡(2x+3x+12x−3x+1)=−log⁡(−2x+1−3x−2x−1−3x)\log{\left(\frac{2 x + \sqrt{3 x + 1}}{2 x - \sqrt{3 x + 1}} \right)} = - \log{\left(\frac{- 2 x + \sqrt{1 - 3 x}}{- 2 x - \sqrt{1 - 3 x}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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