Sr Examen

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Gráfico de la función y = log(-asin(x/3)/(-1+asin(x/3)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /      /x\   \
          | -asin|-|   |
          |      \3/   |
f(x) = log|------------|
          |         /x\|
          |-1 + asin|-||
          \         \3//
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}$$
f = log((-asin(x/3))/(asin(x/3) - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2.52441295442369$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.43827661581261$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((-asin(x/3))/(-1 + asin(x/3))).
$$\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{0}{3} \right)}}{-1 + \operatorname{asin}{\left(\frac{0}{3} \right)}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(- \frac{1}{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)^{2}}\right) \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x}{\left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)} - \frac{27 \left(1 - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1}\right)}{\left(9 - x^{2}\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + \frac{27 \left(1 - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1}\right)}{\left(9 - x^{2}\right) \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)} + \frac{54}{\left(x^{2} - 9\right) \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)} - \frac{54 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\left(x^{2} - 9\right) \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1\right)^{2}}}{27 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2.52441295442369$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)} = \log{\left(-1 + 0 \left(-1 - \infty i\right) \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \log{\left(-1 + 0 \left(-1 - \infty i\right) \right)}$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((-asin(x/3))/(-1 + asin(x/3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)} = \log{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{- \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{\left(-1\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)} = - \log{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{- \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} - 1} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar