Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+1)*arctg(1/(x-1))

Gráfico de la función y = (x+1)*arctg(1/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   /  1  \
f(x) = (x + 1)*atan|-----|
                   \x - 1/
f(x)=(x+1)atan⁡(1x−1)f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} 
f = (x + 1)*atan(1/(x - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)atan⁡(1x−1)=0\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)*atan(1/(x - 1)).
atan⁡(1−1)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{-1} \right)}
Resultado:
f(0)=−π4f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, -pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
atan⁡(1x−1)−x+1(1+1(x−1)2)(x−1)2=0\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} - \frac{x + 1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((1−1(1+1(x−1)2)(x−1)2)(x+1)x−1−1)(1+1(x−1)2)(x−1)2=0\frac{2 \left(\frac{\left(1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}{x - 1} - 1\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2((1−1(1+1(x−1)2)(x−1)2)(x+1)x−1−1)(1+1(x−1)2)(x−1)2)=−2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}{x - 1} - 1\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -2
lim⁡x→1+(2((1−1(1+1(x−1)2)(x−1)2)(x+1)x−1−1)(1+1(x−1)2)(x−1)2)=−2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x + 1\right)}{x - 1} - 1\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)atan⁡(1x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x+1)atan⁡(1x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)*atan(1/(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)atan⁡(1x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+1)atan⁡(1x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)atan⁡(1x−1)=(1−x)atan⁡(1−x−1)\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = \left(1 - x\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
(x+1)atan⁡(1x−1)=−(1−x)atan⁡(1−x−1)\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = - \left(1 - x\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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