Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x^2*(exp(1/x)-1)

Gráfico de la función y = x^2*(exp(1/x)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 1    \
          | -    |
        2 | x    |
f(x) = x *\e  - 1/
f(x)=x2(e1x−1)f{\left(x \right)} = x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) 
f = x^2*(exp(1/x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102000000-1000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(e1x−1)=0x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*(exp(1/x) - 1).
02(−1+e10)0^{2} \left(-1 + e^{\frac{1}{0}}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(e1x−1)−e1x=02 x \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) - e^{\frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2e1x−2+(2+1x)e1xx−4e1xx=02 e^{\frac{1}{x}} - 2 + \frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{4 e^{\frac{1}{x}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−39877.6563212567x_{1} = -39877.6563212567
x2=−14449.8361989337x_{2} = -14449.8361989337
x3=16912.4057808903x_{3} = 16912.4057808903
x4=38949.8873148361x_{4} = 38949.8873148361
x5=13522.0896629389x_{5} = 13522.0896629389
x6=−12754.6920516308x_{6} = -12754.6920516308
x7=−15297.4136539103x_{7} = -15297.4136539103
x8=27931.1016152579x_{8} = 27931.1016152579
x9=38102.2869941325x_{9} = 38102.2869941325
x10=35559.4871488201x_{10} = 35559.4871488201
x11=36407.086898158x_{11} = 36407.086898158
x12=−34792.0562988759x_{12} = -34792.0562988759
x13=−22078.1076567522x_{13} = -22078.1076567522
x14=10131.8403739245x_{14} = 10131.8403739245
x15=−31401.6608680414x_{15} = -31401.6608680414
x16=−18687.7478979172x_{16} = -18687.7478979172
x17=−24620.8878534009x_{17} = -24620.8878534009
x18=−19535.3359672021x_{18} = -19535.3359672021
x19=−8516.9450458411x_{19} = -8516.9450458411
x20=−32249.2593003649x_{20} = -32249.2593003649
x21=30473.8938770785x_{21} = 30473.8938770785
x22=−28011.2706635918x_{22} = -28011.2706635918
x23=22845.5306872408x_{23} = 22845.5306872408
x24=−41572.8577126531x_{24} = -41572.8577126531
x25=16064.8227859878x_{25} = 16064.8227859878
x26=−39030.0558567963x_{26} = -39030.0558567963
x27=18607.5775454055x_{27} = 18607.5775454055
x28=20302.7554100964x_{28} = 20302.7554100964
x29=−11907.126904562x_{29} = -11907.126904562
x30=−13602.2621062988x_{30} = -13602.2621062988
x31=19455.1658143876x_{31} = 19455.1658143876
x32=26235.9089676166x_{32} = 26235.9089676166
x33=40645.0884449418x_{33} = 40645.0884449418
x34=24540.7184974027x_{34} = 24540.7184974027
x35=−22925.7002508004x_{35} = -22925.7002508004
x36=−29706.4650002999x_{36} = -29706.4650002999
x37=−9364.47437918346x_{37} = -9364.47437918346
x38=28778.6986357815x_{38} = 28778.6986357815
x39=41492.6892344268x_{39} = 41492.6892344268
x40=−7669.43248826304x_{40} = -7669.43248826304
x41=10979.3930753798x_{41} = 10979.3930753798
x42=39797.4878019001x_{42} = 39797.4878019001
x43=33016.689278842x_{43} = 33016.689278842
x44=−23773.2936784993x_{44} = -23773.2936784993
x45=34711.8876179679x_{45} = 34711.8876179679
x46=11826.9531024289x_{46} = 11826.9531024289
x47=6741.75729176678x_{47} = 6741.75729176678
x48=21150.3461737677x_{48} = 21150.3461737677
x49=7589.25045421953x_{49} = 7589.25045421953
x50=−10212.0162696652x_{50} = -10212.0162696652
x51=−33096.8580308478x_{51} = -33096.8580308478
x52=33864.2883219652x_{52} = 33864.2883219652
x53=15217.2421420941x_{53} = 15217.2421420941
x54=8436.76567769069x_{54} = 8436.76567769069
x55=−42420.4586210683x_{55} = -42420.4586210683
x56=42340.290161585x_{56} = 42340.290161585
x57=−25468.4827006091x_{57} = -25468.4827006091
x58=−16144.9939383678x_{58} = -16144.9939383678
x59=32169.0905085256x_{59} = 32169.0905085256
x60=−17840.1613734673x_{60} = -17840.1613734673
x61=−6821.94305309729x_{61} = -6821.94305309729
x62=−36487.255517655x_{62} = -36487.255517655
x63=9284.29698337792x_{63} = 9284.29698337792
x64=23693.1242242781x_{64} = 23693.1242242781
x65=17759.9907920548x_{65} = 17759.9907920548
x66=−35639.6557979241x_{66} = -35639.6557979241
x67=31321.4920330961x_{67} = 31321.4920330961
x68=27083.5050447204x_{68} = 27083.5050447204
x69=−16992.576626392x_{69} = -16992.576626392
x70=37254.6868511149x_{70} = 37254.6868511149
x71=29626.296067797x_{71} = 29626.296067797
x72=−38182.4555602223x_{72} = -38182.4555602223
x73=−30554.0627587705x_{73} = -30554.0627587705
x74=−27163.6741592809x_{74} = -27163.6741592809
x75=12674.518996728x_{75} = 12674.518996728
x76=−37334.8554429973x_{76} = -37334.8554429973
x77=25388.3134331762x_{77} = 25388.3134331762
x78=−21230.5159966738x_{78} = -21230.5159966738
x79=−26316.0781549163x_{79} = -26316.0781549163
x80=−33944.4570370887x_{80} = -33944.4570370887
x81=−11059.5678037563x_{81} = -11059.5678037563
x82=−40725.2569430912x_{82} = -40725.2569430912
x83=−28858.8676236457x_{83} = -28858.8676236457
x84=−20382.9253876527x_{84} = -20382.9253876527
x85=21997.9379709968x_{85} = 21997.9379709968
x86=14369.6642623984x_{86} = 14369.6642623984
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2e1x−2+(2+1x)e1xx−4e1xx)=−2\lim_{x \to 0^-}\left(2 e^{\frac{1}{x}} - 2 + \frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{4 e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = -2
lim⁡x→0+(2e1x−2+(2+1x)e1xx−4e1xx)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 e^{\frac{1}{x}} - 2 + \frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} - \frac{4 e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[42340.290161585,∞)\left[42340.290161585, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−33096.8580308478]\left(-\infty, -33096.8580308478\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(e1x−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(e1x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(exp(1/x) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(e1x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right)\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x(e1x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(x \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right)\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(e1x−1)=x2(−1+e−1x)x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) = x^{2} \left(-1 + e^{- \frac{1}{x}}\right)
- No
x2(e1x−1)=−x2(−1+e−1x)x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) = - x^{2} \left(-1 + e^{- \frac{1}{x}}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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