Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos((x+pi)/3)-1

Gráfico de la función y = cos((x+pi)/3)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + pi\    
f(x) = cos|------| - 1
          \  3   /
f(x)=cos⁡(x+π3)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1 
f = cos((x + pi)/3) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π3)−1=0\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Solución numérica
x1=−97.3893745206956x_{1} = -97.3893745206956
x2=15.7079642483061x_{2} = 15.7079642483061
x3=−21.9911476483818x_{3} = -21.9911476483818
x4=15.7079625798234x_{4} = 15.7079625798234
x5=72.2566301226729x_{5} = 72.2566301226729
x6=15.7079659774467x_{6} = 15.7079659774467
x7=91.1061884976653x_{7} = 91.1061884976653
x8=−97.3893707853007x_{8} = -97.3893707853007
x9=−59.6902613484779x_{9} = -59.6902613484779
x10=53.4070735966335x_{10} = 53.4070735966335
x11=−21.9911499262929x_{11} = -21.9911499262929
x12=15.7079643063945x_{12} = 15.7079643063945
x13=−78.5398169218883x_{13} = -78.5398169218883
x14=34.5575182254197x_{14} = 34.5575182254197
x15=−78.5398160333896x_{15} = -78.5398160333896
x16=91.1061869214634x_{16} = 91.1061869214634
x17=−3.14159419270109x_{17} = -3.14159419270109
x18=−97.3893733028467x_{18} = -97.3893733028467
x19=72.2566310277172x_{19} = 72.2566310277172
x20=34.5575176700454x_{20} = 34.5575176700454
x21=53.4070751199802x_{21} = 53.4070751199802
x22=−21.9911500132853x_{22} = -21.9911500132853
x23=−97.3893724570633x_{23} = -97.3893724570633
x24=53.4070754421324x_{24} = 53.4070754421324
x25=−3.14159296600646x_{25} = -3.14159296600646
x26=34.5575206523395x_{26} = 34.5575206523395
x27=72.2566295511795x_{27} = 72.2566295511795
x28=53.4070762534334x_{28} = 53.4070762534334
x29=15.7079618120813x_{29} = 15.7079618120813
x30=−78.5398156708263x_{30} = -78.5398156708263
x31=−3.14159321181009x_{31} = -3.14159321181009
x32=−59.6902589797336x_{32} = -59.6902589797336
x33=34.5575165845019x_{33} = 34.5575165845019
x34=−40.8407044242062x_{34} = -40.8407044242062
x35=34.557519895729x_{35} = 34.557519895729
x36=−40.8407043841756x_{36} = -40.8407043841756
x37=−40.8407029507697x_{37} = -40.8407029507697
x38=53.4070738154238x_{38} = 53.4070738154238
x39=−21.9911470840848x_{39} = -21.9911470840848
x40=−40.840704052337x_{40} = -40.840704052337
x41=−59.6902590363808x_{41} = -59.6902590363808
x42=−40.8407032751831x_{42} = -40.8407032751831
x43=−97.3893715773867x_{43} = -97.3893715773867
x44=91.1061874222829x_{44} = 91.1061874222829
x45=−21.9911485864388x_{45} = -21.9911485864388
x46=−78.5398150881882x_{46} = -78.5398150881882
x47=−3.14159276062015x_{47} = -3.14159276062015
x48=15.707961894931x_{48} = 15.707961894931
x49=−78.5398176498381x_{49} = -78.5398176498381
x50=15.7079634550617x_{50} = 15.7079634550617
x51=−21.9911473480329x_{51} = -21.9911473480329
x52=−59.690264170919x_{52} = -59.690264170919
x53=−78.5398178465509x_{53} = -78.5398178465509
x54=53.4070745520074x_{54} = 53.4070745520074
x55=91.1061868853346x_{55} = 91.1061868853346
x56=−3.14159207598184x_{56} = -3.14159207598184
x57=−78.539815215081x_{57} = -78.539815215081
x58=−3.14159113256562x_{58} = -3.14159113256562
x59=−40.8407049460369x_{59} = -40.8407049460369
x60=−40.8407057203169x_{60} = -40.8407057203169
x61=34.5575181670294x_{61} = 34.5575181670294
x62=72.2566278965339x_{62} = 72.2566278965339
x63=53.4070756953521x_{63} = 53.4070756953521
x64=91.1061865286018x_{64} = 91.1061865286018
x65=−21.9911493872822x_{65} = -21.9911493872822
x66=15.7079643832x_{66} = 15.7079643832
x67=−40.8407060333612x_{67} = -40.8407060333612
x68=91.1061881917053x_{68} = 91.1061881917053
x69=34.5575190194442x_{69} = 34.5575190194442
x70=−59.6902615980313x_{70} = -59.6902615980313
x71=34.5575205743468x_{71} = 34.5575205743468
x72=−59.6902596099374x_{72} = -59.6902596099374
x73=72.2566318621985x_{73} = 72.2566318621985
x74=72.2566323921551x_{74} = 72.2566323921551
x75=−21.9911459637955x_{75} = -21.9911459637955
x76=−59.6902604578483x_{76} = -59.6902604578483
x77=−78.5398147949047x_{77} = -78.5398147949047
x78=53.4070761151575x_{78} = 53.4070761151575
x79=−474.380493870955x_{79} = -474.380493870955
x80=−59.6902619075171x_{80} = -59.6902619075171
x81=91.1061854151691x_{81} = 91.1061854151691
x82=91.1061857467651x_{82} = 91.1061857467651
x83=72.2566324813595x_{83} = 72.2566324813595
x84=53.4070766577001x_{84} = 53.4070766577001
x85=−78.5398160333126x_{85} = -78.5398160333126
x86=−97.3893708890293x_{86} = -97.3893708890293
x87=−3.14159358974287x_{87} = -3.14159358974287
x88=72.2566298163471x_{88} = 72.2566298163471
x89=15.7079647959253x_{89} = 15.7079647959253
x90=−3.14159378098184x_{90} = -3.14159378098184
x91=−3.14159134496669x_{91} = -3.14159134496669
x92=−78.5398163691121x_{92} = -78.5398163691121
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos((x + pi)/3) - 1.
−1+cos⁡(π3)-1 + \cos{\left(\frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=−12f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π3)3=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, 0)

(2*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=−πx_{1} = - \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,−π]∪[2π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π,2π]\left[- \pi, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π3)9=0- \frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=7π2x_{2} = \frac{7 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,7π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[7π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π3)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π3)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos((x + pi)/3) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π3)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π3)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π3)−1=sin⁡(x3+π6)−1\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1 = \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)} - 1
- No
cos⁡(x+π3)−1=1−sin⁡(x3+π6)\cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)} - 1 = 1 - \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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