Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- cos(2x)+ uno /2cos(4x)
- coseno de (2x) más 1 dividir por 2 coseno de (4x)
- coseno de (2x) más uno dividir por 2 coseno de (4x)
- cos2x+1/2cos4x
- cos(2x)+1 dividir por 2cos(4x)
-
Expresiones semejantes
- cos(2x)-1/2cos(4x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(x)-3
- cos(x)*4*x
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+1/cos(x)
Gráfico de la función y = cos(2x)+1/2cos(4x)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(4*x)
f(x) = cos(2*x) + --------
2
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$$
f = cos(2*x) + cos(4*x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -82.2794399403777$$
$$x_{2} = -33.9594882424446$$
$$x_{3} = -30.8178955888549$$
$$x_{4} = -16.305994214992$$
$$x_{5} = 44.5803280973002$$
$$x_{6} = 84.2249706998813$$
$$x_{7} = -60.2882913652492$$
$$x_{8} = -99.9329339678303$$
$$x_{9} = -38.2971427901206$$
$$x_{10} = 40.2426735496242$$
$$x_{11} = 66.5714766724287$$
$$x_{12} = -55.9506368175732$$
$$x_{13} = -40.2426735496242$$
$$x_{14} = 54.0051060580696$$
$$x_{15} = -88.5626252475573$$
$$x_{16} = -97.9874032083267$$
$$x_{17} = 11.9683396673161$$
$$x_{18} = -25.7307721757614$$
$$x_{19} = 62.2338221247528$$
$$x_{20} = -93.6497486606507$$
$$x_{21} = 27.6763029352651$$
$$x_{22} = 18.2515249744957$$
$$x_{23} = 93.6497486606507$$
$$x_{24} = 60.2882913652492$$
$$x_{25} = 33.9594882424446$$
$$x_{26} = 77.9417853927017$$
$$x_{27} = -3.73962360063287$$
$$x_{28} = -54.0051060580696$$
$$x_{29} = 0.598030947043078$$
$$x_{30} = -590.021387927838$$
$$x_{31} = 263.2957519545$$
$$x_{32} = 125.065675196549$$
$$x_{33} = 91.7042179011471$$
$$x_{34} = -5.68515436013651$$
$$x_{35} = -84.2249706998813$$
$$x_{36} = 982.720469626562$$
$$x_{37} = 32.013957482941$$
$$x_{38} = 88.5626252475573$$
$$x_{39} = -91.7042179011471$$
$$x_{40} = 75.9962546331981$$
$$x_{41} = -18.2515249744957$$
$$x_{42} = 55.9506368175732$$
$$x_{43} = 22.5891795221716$$
$$x_{44} = -10.0228089078125$$
$$x_{45} = -32.013957482941$$
$$x_{46} = 69.7130693260185$$
$$x_{47} = -11.9683396673161$$
$$x_{48} = -49.6674515103936$$
$$x_{49} = 49.6674515103936$$
$$x_{50} = 99.9329339678303$$
$$x_{51} = 16.305994214992$$
$$x_{52} = 97.9874032083267$$
$$x_{53} = -75.9962546331981$$
$$x_{54} = 10.0228089078125$$
$$x_{55} = -110.553773822686$$
$$x_{56} = 82.2794399403777$$
$$x_{57} = -71.6586000855222$$
$$x_{58} = -62.2338221247528$$
$$x_{59} = 68.5170074319324$$
$$x_{60} = 2.54356170654671$$
$$x_{61} = -27.6763029352651$$
$$x_{62} = -47.72192075089$$
$$x_{63} = 5.68515436013651$$
$$x_{64} = 38.2971427901206$$
$$x_{65} = -77.9417853927017$$
$$x_{66} = 71.6586000855222$$
$$x_{67} = -69.7130693260185$$
$$x_{68} = -21.3931176280855$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -82.2794399403777$$
$$x_{2} = -33.9594882424446$$
$$x_{3} = -30.8178955888549$$
$$x_{4} = -16.305994214992$$
$$x_{5} = 44.5803280973002$$
$$x_{6} = 84.2249706998813$$
$$x_{7} = -60.2882913652492$$
$$x_{8} = -99.9329339678303$$
$$x_{9} = -38.2971427901206$$
$$x_{10} = 40.2426735496242$$
$$x_{11} = 66.5714766724287$$
$$x_{12} = -55.9506368175732$$
$$x_{13} = -40.2426735496242$$
$$x_{14} = 54.0051060580696$$
$$x_{15} = -88.5626252475573$$
$$x_{16} = -97.9874032083267$$
$$x_{17} = 11.9683396673161$$
$$x_{18} = -25.7307721757614$$
$$x_{19} = 62.2338221247528$$
$$x_{20} = -93.6497486606507$$
$$x_{21} = 27.6763029352651$$
$$x_{22} = 18.2515249744957$$
$$x_{23} = 93.6497486606507$$
$$x_{24} = 60.2882913652492$$
$$x_{25} = 33.9594882424446$$
$$x_{26} = 77.9417853927017$$
$$x_{27} = -3.73962360063287$$
$$x_{28} = -54.0051060580696$$
$$x_{29} = 0.598030947043078$$
$$x_{30} = -590.021387927838$$
$$x_{31} = 263.2957519545$$
$$x_{32} = 125.065675196549$$
$$x_{33} = 91.7042179011471$$
$$x_{34} = -5.68515436013651$$
$$x_{35} = -84.2249706998813$$
$$x_{36} = 982.720469626562$$
$$x_{37} = 32.013957482941$$
$$x_{38} = 88.5626252475573$$
$$x_{39} = -91.7042179011471$$
$$x_{40} = 75.9962546331981$$
$$x_{41} = -18.2515249744957$$
$$x_{42} = 55.9506368175732$$
$$x_{43} = 22.5891795221716$$
$$x_{44} = -10.0228089078125$$
$$x_{45} = -32.013957482941$$
$$x_{46} = 69.7130693260185$$
$$x_{47} = -11.9683396673161$$
$$x_{48} = -49.6674515103936$$
$$x_{49} = 49.6674515103936$$
$$x_{50} = 99.9329339678303$$
$$x_{51} = 16.305994214992$$
$$x_{52} = 97.9874032083267$$
$$x_{53} = -75.9962546331981$$
$$x_{54} = 10.0228089078125$$
$$x_{55} = -110.553773822686$$
$$x_{56} = 82.2794399403777$$
$$x_{57} = -71.6586000855222$$
$$x_{58} = -62.2338221247528$$
$$x_{59} = 68.5170074319324$$
$$x_{60} = 2.54356170654671$$
$$x_{61} = -27.6763029352651$$
$$x_{62} = -47.72192075089$$
$$x_{63} = 5.68515436013651$$
$$x_{64} = 38.2971427901206$$
$$x_{65} = -77.9417853927017$$
$$x_{66} = 71.6586000855222$$
$$x_{67} = -69.7130693260185$$
$$x_{68} = -21.3931176280855$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{8} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{8} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3/2)
-2*pi (-----, -3/4) 3
-pi (----, -1/2) 2
-pi (----, -3/4) 3
pi (--, -3/4) 3
pi (--, -1/2) 2
2*pi (----, -3/4) 3
(pi, 3/2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) + cos(4*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = - \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = - \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par