Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(2x)+1/2cos(4x)

Gráfico de la función y = cos(2x)+1/2cos(4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  cos(4*x)
f(x) = cos(2*x) + --------
                     2
f(x)=cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} 
f = cos(2*x) + cos(4*x)/2
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2=0\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−ilog⁡(−e−iatan⁡(234(1+3)2)2)x_{1} = - i \log{\left(- e^{- \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}
x2=−ilog⁡(−eiatan⁡(234(1+3)2)2)x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}} \right)}
x3=−atan⁡(234(1+3)2)2x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}
x4=atan⁡(234(1+3)2)2x_{4} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} \right)}}{2}
Solución numérica
x1=−82.2794399403777x_{1} = -82.2794399403777
x2=−33.9594882424446x_{2} = -33.9594882424446
x3=−30.8178955888549x_{3} = -30.8178955888549
x4=−16.305994214992x_{4} = -16.305994214992
x5=44.5803280973002x_{5} = 44.5803280973002
x6=84.2249706998813x_{6} = 84.2249706998813
x7=−60.2882913652492x_{7} = -60.2882913652492
x8=−99.9329339678303x_{8} = -99.9329339678303
x9=−38.2971427901206x_{9} = -38.2971427901206
x10=40.2426735496242x_{10} = 40.2426735496242
x11=66.5714766724287x_{11} = 66.5714766724287
x12=−55.9506368175732x_{12} = -55.9506368175732
x13=−40.2426735496242x_{13} = -40.2426735496242
x14=54.0051060580696x_{14} = 54.0051060580696
x15=−88.5626252475573x_{15} = -88.5626252475573
x16=−97.9874032083267x_{16} = -97.9874032083267
x17=11.9683396673161x_{17} = 11.9683396673161
x18=−25.7307721757614x_{18} = -25.7307721757614
x19=62.2338221247528x_{19} = 62.2338221247528
x20=−93.6497486606507x_{20} = -93.6497486606507
x21=27.6763029352651x_{21} = 27.6763029352651
x22=18.2515249744957x_{22} = 18.2515249744957
x23=93.6497486606507x_{23} = 93.6497486606507
x24=60.2882913652492x_{24} = 60.2882913652492
x25=33.9594882424446x_{25} = 33.9594882424446
x26=77.9417853927017x_{26} = 77.9417853927017
x27=−3.73962360063287x_{27} = -3.73962360063287
x28=−54.0051060580696x_{28} = -54.0051060580696
x29=0.598030947043078x_{29} = 0.598030947043078
x30=−590.021387927838x_{30} = -590.021387927838
x31=263.2957519545x_{31} = 263.2957519545
x32=125.065675196549x_{32} = 125.065675196549
x33=91.7042179011471x_{33} = 91.7042179011471
x34=−5.68515436013651x_{34} = -5.68515436013651
x35=−84.2249706998813x_{35} = -84.2249706998813
x36=982.720469626562x_{36} = 982.720469626562
x37=32.013957482941x_{37} = 32.013957482941
x38=88.5626252475573x_{38} = 88.5626252475573
x39=−91.7042179011471x_{39} = -91.7042179011471
x40=75.9962546331981x_{40} = 75.9962546331981
x41=−18.2515249744957x_{41} = -18.2515249744957
x42=55.9506368175732x_{42} = 55.9506368175732
x43=22.5891795221716x_{43} = 22.5891795221716
x44=−10.0228089078125x_{44} = -10.0228089078125
x45=−32.013957482941x_{45} = -32.013957482941
x46=69.7130693260185x_{46} = 69.7130693260185
x47=−11.9683396673161x_{47} = -11.9683396673161
x48=−49.6674515103936x_{48} = -49.6674515103936
x49=49.6674515103936x_{49} = 49.6674515103936
x50=99.9329339678303x_{50} = 99.9329339678303
x51=16.305994214992x_{51} = 16.305994214992
x52=97.9874032083267x_{52} = 97.9874032083267
x53=−75.9962546331981x_{53} = -75.9962546331981
x54=10.0228089078125x_{54} = 10.0228089078125
x55=−110.553773822686x_{55} = -110.553773822686
x56=82.2794399403777x_{56} = 82.2794399403777
x57=−71.6586000855222x_{57} = -71.6586000855222
x58=−62.2338221247528x_{58} = -62.2338221247528
x59=68.5170074319324x_{59} = 68.5170074319324
x60=2.54356170654671x_{60} = 2.54356170654671
x61=−27.6763029352651x_{61} = -27.6763029352651
x62=−47.72192075089x_{62} = -47.72192075089
x63=5.68515436013651x_{63} = 5.68515436013651
x64=38.2971427901206x_{64} = 38.2971427901206
x65=−77.9417853927017x_{65} = -77.9417853927017
x66=71.6586000855222x_{66} = 71.6586000855222
x67=−69.7130693260185x_{67} = -69.7130693260185
x68=−21.3931176280855x_{68} = -21.3931176280855
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x) + cos(4*x)/2.
cos⁡(0⋅4)2+cos⁡(0⋅2)\frac{\cos{\left(0 \cdot 4 \right)}}{2} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)−2sin⁡(4x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x4=−π3x_{4} = - \frac{\pi}{3}
x5=π3x_{5} = \frac{\pi}{3}
x6=π2x_{6} = \frac{\pi}{2}
x7=2π3x_{7} = \frac{2 \pi}{3}
x8=πx_{8} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3/2)

 -2*pi       
(-----, -3/4)
   3         

 -pi        
(----, -1/2)
  2         

 -pi        
(----, -3/4)
  3         

 pi       
(--, -3/4)
 3        

 pi       
(--, -1/2)
 2        

 2*pi       
(----, -3/4)
  3         

(pi, 3/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
x4=2π3x_{4} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x4=0x_{4} = 0
x4=−π2x_{4} = - \frac{\pi}{2}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
x4=πx_{4} = \pi
Decrece en los intervalos
[2π3,∞)\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2π3]\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) + cos(4*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2=cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}
- Sí
cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2=−cos⁡(2x)−cos⁡(4x)2\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} = - \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
es
par
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