Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg^2x

Gráfico de la función y = arctg^2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2   
f(x) = atan (x)
f(x)=atan⁡2(x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} 
f = atan(x)^2
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡2(x)=0\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)^2.
atan⁡2(0)\operatorname{atan}^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2atan⁡(x)x2+1=0\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2xatan⁡(x)+1)(x2+1)2=0\frac{2 \left(- 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18010.055373674x_{1} = 18010.055373674
x2=−34825.9507519323x_{2} = -34825.9507519323
x3=40042.1249189752x_{3} = 40042.1249189752
x4=30719.8667071727x_{4} = 30719.8667071727
x5=−39910.9068025809x_{5} = -39910.9068025809
x6=−33978.4777406911x_{6} = -33978.4777406911
x7=28177.5939359089x_{7} = 28177.5939359089
x8=22246.1111845123x_{8} = 22246.1111845123
x9=−20420.4147645461x_{9} = -20420.4147645461
x10=25635.4296319425x_{10} = 25635.4296319425
x11=−17878.8979748856x_{11} = -17878.8979748856
x12=17162.962929885x_{12} = 17162.962929885
x13=−37368.4058086007x_{13} = -37368.4058086007
x14=20551.5900405008x_{14} = 20551.5900405008
x15=27330.1922698542x_{15} = 27330.1922698542
x16=−24656.8778783254x_{16} = -24656.8778783254
x17=−25504.2334265512x_{17} = -25504.2334265512
x18=−22962.2226401045x_{18} = -22962.2226401045
x19=−18726.030446616x_{19} = -18726.030446616
x20=−19573.2044619574x_{20} = -19573.2044619574
x21=36652.130400909x_{21} = 36652.130400909
x22=−28046.391296672x_{22} = -28046.391296672
x23=−26351.6051691354x_{23} = -26351.6051691354
x24=−39063.4019253875x_{24} = -39063.4019253875
x25=18857.1946299244x_{25} = 18857.1946299244
x26=−31436.1015983531x_{26} = -31436.1015983531
x27=−23809.5402776119x_{27} = -23809.5402776119
x28=−32283.5525952437x_{28} = -32283.5525952437
x29=42584.6652795986x_{29} = 42584.6652795986
x30=32414.7627499852x_{30} = 32414.7627499852
x31=37499.6218083141x_{31} = 37499.6218083141
x32=24788.0714796005x_{32} = 24788.0714796005
x33=35804.6443832452x_{33} = 35804.6443832452
x34=−30588.6591830513x_{34} = -30588.6591830513
x35=−42453.4454174628x_{35} = -42453.4454174628
x36=34109.6901394521x_{36} = 34109.6901394521
x37=−29741.2260909927x_{37} = -29741.2260909927
x38=−36520.9152075726x_{38} = -36520.9152075726
x39=−22114.9272950956x_{39} = -22114.9272950956
x40=−33131.0115087019x_{40} = -33131.0115087019
x41=26482.8037290628x_{41} = 26482.8037290628
x42=29872.4321264636x_{42} = 29872.4321264636
x43=29025.007564543x_{43} = 29025.007564543
x44=41737.1481106533x_{44} = 41737.1481106533
x45=21398.8367920726x_{45} = 21398.8367920726
x46=23940.7309886273x_{46} = 23940.7309886273
x47=0.765378926665789x_{47} = 0.765378926665789
x48=40889.6345794937x_{48} = 40889.6345794937
x49=−35673.4300548609x_{49} = -35673.4300548609
x50=33262.2228288295x_{50} = 33262.2228288295
x51=−38215.9014923937x_{51} = -38215.9014923937
x52=38347.1182450815x_{52} = 38347.1182450815
x53=31567.3104913969x_{53} = 31567.3104913969
x54=34957.164150976x_{54} = 34957.164150976
x55=−27198.9915740665x_{55} = -27198.9915740665
x56=−40758.4158445424x_{56} = -40758.4158445424
x57=−41605.9287947859x_{57} = -41605.9287947859
x58=−17031.8133699325x_{58} = -17031.8133699325
x59=39194.6193822603x_{59} = 39194.6193822603
x60=−28893.8031518313x_{60} = -28893.8031518313
x61=−21267.6569489348x_{61} = -21267.6569489348
x62=23093.4101312038x_{62} = 23093.4101312038
x63=19704.3745564126x_{63} = 19704.3745564126

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.765378926665789]\left(-\infty, 0.765378926665789\right]
Convexa en los intervalos
[0.765378926665789,∞)\left[0.765378926665789, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡2(x)=π24\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} = \frac{\pi^{2}}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π24y = \frac{\pi^{2}}{4}
lim⁡x→∞atan⁡2(x)=π24\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} = \frac{\pi^{2}}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π24y = \frac{\pi^{2}}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡2(x)=atan⁡2(x)\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} = \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}
- Sí
atan⁡2(x)=−atan⁡2(x)\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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