Sr Examen

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sin(6*x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(6*x)

Gráfico de la función y = sin(6*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(6*x)
f(x)=sin⁡(6x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x \right)} 
f = sin(6*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(6x)=0\sin{\left(6 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=82.2050077689329x_{1} = 82.2050077689329
x2=62.3082542961976x_{2} = 62.3082542961976
x3=97.9129710368819x_{3} = 97.9129710368819
x4=−41.8879020478639x_{4} = -41.8879020478639
x5=14.1371669411541x_{5} = 14.1371669411541
x6=−68.0678408277789x_{6} = -68.0678408277789
x7=72.2566310325652x_{7} = 72.2566310325652
x8=−43.9822971502571x_{8} = -43.9822971502571
x9=−90.0589894029074x_{9} = -90.0589894029074
x10=9.94837673636768x_{10} = 9.94837673636768
x11=12.0427718387609x_{11} = 12.0427718387609
x12=−37.6991118430775x_{12} = -37.6991118430775
x13=34.5575191894877x_{13} = 34.5575191894877
x14=−49.7418836818384x_{14} = -49.7418836818384
x15=−75.9218224617533x_{15} = -75.9218224617533
x16=−51.8362787842316x_{16} = -51.8362787842316
x17=−21.9911485751286x_{17} = -21.9911485751286
x18=50.2654824574367x_{18} = 50.2654824574367
x19=−15.707963267949x_{19} = -15.707963267949
x20=−46.0766922526503x_{20} = -46.0766922526503
x21=−2.0943951023932x_{21} = -2.0943951023932
x22=67.5442420521806x_{22} = 67.5442420521806
x23=21.9911485751286x_{23} = 21.9911485751286
x24=−87.9645943005142x_{24} = -87.9645943005142
x25=−90.5825881785057x_{25} = -90.5825881785057
x26=70.162235930172x_{26} = 70.162235930172
x27=4.18879020478639x_{27} = 4.18879020478639
x28=38.2227106186758x_{28} = 38.2227106186758
x29=34.0339204138894x_{29} = 34.0339204138894
x30=−31.9395253114962x_{30} = -31.9395253114962
x31=60.2138591938044x_{31} = 60.2138591938044
x32=−59.1666616426078x_{32} = -59.1666616426078
x33=−85.870199198121x_{33} = -85.870199198121
x34=−29.845130209103x_{34} = -29.845130209103
x35=−78.0162175641465x_{35} = -78.0162175641465
x36=−384.84510006475x_{36} = -384.84510006475
x37=48.1710873550435x_{37} = 48.1710873550435
x38=−17.8023583703422x_{38} = -17.8023583703422
x39=10.471975511966x_{39} = 10.471975511966
x40=−93.7241808320955x_{40} = -93.7241808320955
x41=−65.9734457253857x_{41} = -65.9734457253857
x42=46.0766922526503x_{42} = 46.0766922526503
x43=−83.7758040957278x_{43} = -83.7758040957278
x44=28.2743338823081x_{44} = 28.2743338823081
x45=94.2477796076938x_{45} = 94.2477796076938
x46=75.9218224617533x_{46} = 75.9218224617533
x47=96.342174710087x_{47} = 96.342174710087
x48=−82.2050077689329x_{48} = -82.2050077689329
x49=6.28318530717959x_{49} = 6.28318530717959
x50=−25.6563400043166x_{50} = -25.6563400043166
x51=93.2005820564972x_{51} = 93.2005820564972
x52=36.1283155162826x_{52} = 36.1283155162826
x53=−19.8967534727354x_{53} = -19.8967534727354
x54=−12.0427718387609x_{54} = -12.0427718387609
x55=80.1106126665397x_{55} = 80.1106126665397
x56=−61.7846555205993x_{56} = -61.7846555205993
x57=56.025068989018x_{57} = 56.025068989018
x58=−24.0855436775217x_{58} = -24.0855436775217
x59=−56.025068989018x_{59} = -56.025068989018
x60=78.0162175641465x_{60} = 78.0162175641465
x61=0x_{61} = 0
x62=18.3259571459405x_{62} = 18.3259571459405
x63=58.1194640914112x_{63} = 58.1194640914112
x64=−39.7935069454707x_{64} = -39.7935069454707
x65=−9.94837673636768x_{65} = -9.94837673636768
x66=2.0943951023932x_{66} = 2.0943951023932
x67=−34.0339204138894x_{67} = -34.0339204138894
x68=−100.007366139275x_{68} = -100.007366139275
x69=−95.8185759344887x_{69} = -95.8185759344887
x70=24.0855436775217x_{70} = 24.0855436775217
x71=99.4837673636768x_{71} = 99.4837673636768
x72=40.317105721069x_{72} = 40.317105721069
x73=−97.9129710368819x_{73} = -97.9129710368819
x74=100.007366139275x_{74} = 100.007366139275
x75=−53.9306738866248x_{75} = -53.9306738866248
x76=31.9395253114962x_{76} = 31.9395253114962
x77=−3.66519142918809x_{77} = -3.66519142918809
x78=92.1533845053006x_{78} = 92.1533845053006
x79=87.9645943005142x_{79} = 87.9645943005142
x80=84.2994028713261x_{80} = 84.2994028713261
x81=53.9306738866248x_{81} = 53.9306738866248
x82=43.9822971502571x_{82} = 43.9822971502571
x83=−81.6814089933346x_{83} = -81.6814089933346
x84=−63.8790506229925x_{84} = -63.8790506229925
x85=−73.8274273593601x_{85} = -73.8274273593601
x86=68.0678408277789x_{86} = 68.0678408277789
x87=26.1799387799149x_{87} = 26.1799387799149
x88=16.2315620435473x_{88} = 16.2315620435473
x89=−71.733032256967x_{89} = -71.733032256967
x90=−59.6902604182061x_{90} = -59.6902604182061
x91=65.9734457253857x_{91} = 65.9734457253857
x92=90.0589894029074x_{92} = 90.0589894029074
x93=−7.85398163397448x_{93} = -7.85398163397448
x94=−5.75958653158129x_{94} = -5.75958653158129
x95=−27.7507351067098x_{95} = -27.7507351067098
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(6*x).
sin⁡(0⋅6)\sin{\left(0 \cdot 6 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6cos⁡(6x)=06 \cos{\left(6 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 12    

 pi     
(--, -1)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
Decrece en los intervalos
(−∞,π12]∪[π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π12,π4]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−36sin⁡(6x)=0- 36 \sin{\left(6 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π6,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π6]\left[0, \frac{\pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(6x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(6 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(6x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(6 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(6*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(6x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(6x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(6x)=−sin⁡(6x)\sin{\left(6 x \right)} = - \sin{\left(6 x \right)}
- No
sin⁡(6x)=sin⁡(6x)\sin{\left(6 x \right)} = \sin{\left(6 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(6*x)
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