Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
- Límite de la función:
-
sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- seis + tres *x)*(-sqrt(- ocho + tres *x)+ dos *sqrt(- uno +x))
- raíz cuadrada de ( menos 6 más 3 multiplicar por x) multiplicar por ( menos raíz cuadrada de ( menos 8 más 3 multiplicar por x) más 2 multiplicar por raíz cuadrada de ( menos 1 más x))
- raíz cuadrada de ( menos seis más tres multiplicar por x) multiplicar por ( menos raíz cuadrada de ( menos ocho más tres multiplicar por x) más dos multiplicar por raíz cuadrada de ( menos uno más x))
- √(-6+3*x)*(-√(-8+3*x)+2*√(-1+x))
- sqrt(-6+3x)(-sqrt(-8+3x)+2sqrt(-1+x))
- sqrt-6+3x-sqrt-8+3x+2sqrt-1+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-6-3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(1+x))
- sqrt(-6+3*x)*(sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8-3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)-2*sqrt(-1+x))
- sqrt(6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1-x))
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
- sqrt(x^2-6*x+11)
- sqrt[x^2+10x+26]-2
- sqrt(9*x)^2+5
- sqrt(7*x)-x^2
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
- sqrt(x^2-6*x+11)
- sqrt[x^2+10x+26]-2
- sqrt(9*x)^2+5
- sqrt(7*x)-x^2
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
- sqrt(x^2-6*x+11)
- sqrt[x^2+10x+26]-2
- sqrt(9*x)^2+5
- sqrt(7*x)-x^2
Gráfico de la función y = sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
__________ / __________ ________\ f(x) = \/ -6 + 3*x *\- \/ -8 + 3*x + 2*\/ -1 + x /
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)$$
f = sqrt(3*x - 6)*(2*sqrt(x - 1) - sqrt(3*x - 8))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sqrt{3 x - 6} \left(- \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 8}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right) + \frac{3 \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{2 \sqrt{3 x - 6}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sqrt{3 x - 6} \left(- \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 8}} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right) + \frac{3 \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{2 \sqrt{3 x - 6}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________________________________________________________ / ____________________________________________________________ ________________________________________________________\
_________________ / _________________ | / _________________ / _________________ |
/ ____ / / ____ | / / ____ / / ____ |
17 / 727 5*\/ 29 1 / 1 / 727 5*\/ 29 1 | / 7 / 727 5*\/ 29 1 / 8 / 727 5*\/ 29 1 |
(-- + 3 / ---- + -------- + -------------------------, / - - + 3*3 / ---- + -------- + ------------------------- *|- / - - + 3*3 / ---- + -------- + ------------------------- + 2* / - + 3 / ---- + -------- + ------------------------- |)
9 \/ 1458 54 _________________ / 3 \/ 1458 54 _________________ | / 3 \/ 1458 54 _________________ / 9 \/ 1458 54 _________________ |
/ ____ / / ____ | / / ____ / / ____ |
/ 727 5*\/ 29 / / 727 5*\/ 29 | / / 727 5*\/ 29 / / 727 5*\/ 29 |
81*3 / ---- + -------- / 27*3 / ---- + -------- | / 27*3 / ---- + -------- / 81*3 / ---- + -------- |
\/ 1458 54 \/ \/ 1458 54 \ \/ \/ 1458 54 \/ \/ 1458 54 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{81 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}}} + \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{29}}{54} + \frac{727}{1458}} + \frac{17}{9}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{x - 2} \left(\frac{9}{\left(3 x - 8\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{2 \left(\frac{3}{\sqrt{3 x - 8}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}}\right)}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}}{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{x - 2} \left(\frac{9}{\left(3 x - 8\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{2 \left(\frac{3}{\sqrt{3 x - 8}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}}\right)}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}}{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{10 \sqrt[3]{2}}{23} + \frac{15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{23} + \frac{68}{23}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-6 + 3*x)*(-sqrt(-8 + 3*x) + 2*sqrt(-1 + x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{x}\right) = -3 + 2 \sqrt{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{x}\right) = -3 + 2 \sqrt{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{x}\right) = -3 + 2 \sqrt{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right)}{x}\right) = -3 + 2 \sqrt{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = \sqrt{- 3 x - 6} \left(- \sqrt{- 3 x - 8} + 2 \sqrt{- x - 1}\right)$$
- No
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = - \sqrt{- 3 x - 6} \left(- \sqrt{- 3 x - 8} + 2 \sqrt{- x - 1}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = \sqrt{- 3 x - 6} \left(- \sqrt{- 3 x - 8} + 2 \sqrt{- x - 1}\right)$$
- No
$$\sqrt{3 x - 6} \left(2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 x - 8}\right) = - \sqrt{- 3 x - 6} \left(- \sqrt{- 3 x - 8} + 2 \sqrt{- x - 1}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar