Sr Examen

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Gráfico de la función y = (x-4)/(sqrt(x^2-8x+17))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             x - 4       
f(x) = ------------------
          _______________
         /  2            
       \/  x  - 8*x + 17 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}}$$
f = (x - 4)/sqrt(x^2 - 8*x + 17)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 4)/sqrt(x^2 - 8*x + 17).
$$- \frac{4}{\sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 17}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
Punto:
(0, -4*sqrt(17)/17)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 4\right)}{\left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 17\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(\frac{3 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 17} - 3\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 17\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 4)/sqrt(x^2 - 8*x + 17), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x \sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x \sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}} = \frac{- x - 4}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}}$$
- No
$$\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 17}} = - \frac{- x - 4}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar