Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+2)/sqrt(x^2-4*x-21)

Gráfico de la función y = (x+2)/sqrt(x^2-4*x-21)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             x + 2       
f(x) = ------------------
          _______________
         /  2            
       \/  x  - 4*x - 21
f(x)=x+2(x2−4x)−21f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} 
f = (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=7x_{2} = 7
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+2(x2−4x)−21=0\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21).
2−21+(02−0)\frac{2}{\sqrt{-21 + \left(0^{2} - 0\right)}}
Resultado:
f(0)=−221i21f{\left(0 \right)} = - \frac{2 \sqrt{21} i}{21}
Punto:
(0, -2*i*sqrt(21)/21)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x−2)(x+2)((x2−4x)−21)32+1(x2−4x)−21=0- \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 21\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−174x_{1} = - \frac{17}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(-17/4, -3/5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−174x_{1} = - \frac{17}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−174]\left(-\infty, - \frac{17}{4}\right]
Crece en los intervalos
[−174,∞)\left[- \frac{17}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x+(x+2)(3(x−2)2−x2+4x+21+1)−4(x2−4x−21)32=0- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4316+59716x_{1} = - \frac{43}{16} + \frac{5 \sqrt{97}}{16}
x2=−59716−4316x_{2} = - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3
x2=7x_{2} = 7

lim⁡x→−3−(−2x+(x+2)(3(x−2)2−x2+4x+21+1)−4(x2−4x−21)32)=−∞\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty
lim⁡x→−3+(−2x+(x+2)(3(x−2)2−x2+4x+21+1)−4(x2−4x−21)32)=∞i\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−3x_{1} = -3
- es el punto de flexión
lim⁡x→7−(−2x+(x+2)(3(x−2)2−x2+4x+21+1)−4(x2−4x−21)32)=−∞i\lim_{x \to 7^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→7+(−2x+(x+2)(3(x−2)2−x2+4x+21+1)−4(x2−4x−21)32)=∞\lim_{x \to 7^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=7x_{2} = 7
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−59716−4316]\left(-\infty, - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}\right]
Convexa en los intervalos
[−59716−4316,∞)\left[- \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=7x_{2} = 7
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2(x2−4x)−21)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(x+2(x2−4x)−21)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2x(x2−4x)−21)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+2x(x2−4x)−21)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+2(x2−4x)−21=2−xx2+4x−21\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}
- No
x+2(x2−4x)−21=−2−xx2+4x−21\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = - \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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