Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*exp(-x)
-
(1/2)^x
-
-x^2+3*x
-
(x-3)^2
-
Expresiones idénticas
- (x+ dos)/sqrt(x^ dos - cuatro *x- veintiuno)
- (x más 2) dividir por raíz cuadrada de (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x menos 21)
- (x más dos) dividir por raíz cuadrada de (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x menos veintiuno)
- (x+2)/√(x^2-4*x-21)
- (x+2)/sqrt(x2-4*x-21)
- x+2/sqrtx2-4*x-21
- (x+2)/sqrt(x²-4*x-21)
- (x+2)/sqrt(x en el grado 2-4*x-21)
- (x+2)/sqrt(x^2-4x-21)
- (x+2)/sqrt(x2-4x-21)
- x+2/sqrtx2-4x-21
- x+2/sqrtx^2-4x-21
- (x+2) dividir por sqrt(x^2-4*x-21)
-
Expresiones semejantes
- (x+2)/sqrt(x^2+4*x-21)
- (x-2)/sqrt(x^2-4*x-21)
- (x+2)/sqrt(x^2-4*x+21)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*cos(x)
- sqrt(3-x^2)
- sqrt(1+x^3)
- sqrt((x^2)-4)
- sqrt(x^2-4*x)/(2-x)
Gráfico de la función y = (x+2)/sqrt(x^2-4*x-21)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 2
f(x) = ------------------
_______________
/ 2
\/ x - 4*x - 21
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}$$
f = (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 21\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{17}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{17}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 21\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-17/4, -3/5)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{17}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{17}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{43}{16} + \frac{5 \sqrt{97}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 7^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 7^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 7$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{43}{16} + \frac{5 \sqrt{97}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 7^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 7^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 7$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = - \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = - \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar