Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^2+x+1 x^2+x+1
  • y=x^3-3x^2+4 y=x^3-3x^2+4
  • e^x/x e^x/x
  • 5-x 5-x
  • Expresiones idénticas

  • (x+ dos)/sqrt(x^ dos - cuatro *x- veintiuno)
  • (x más 2) dividir por raíz cuadrada de (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x menos 21)
  • (x más dos) dividir por raíz cuadrada de (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x menos veintiuno)
  • (x+2)/√(x^2-4*x-21)
  • (x+2)/sqrt(x2-4*x-21)
  • x+2/sqrtx2-4*x-21
  • (x+2)/sqrt(x²-4*x-21)
  • (x+2)/sqrt(x en el grado 2-4*x-21)
  • (x+2)/sqrt(x^2-4x-21)
  • (x+2)/sqrt(x2-4x-21)
  • x+2/sqrtx2-4x-21
  • x+2/sqrtx^2-4x-21
  • (x+2) dividir por sqrt(x^2-4*x-21)
  • Expresiones semejantes

  • (x+2)/sqrt(x^2+4*x-21)
  • (x-2)/sqrt(x^2-4*x-21)
  • (x+2)/sqrt(x^2-4*x+21)
  • Expresiones con funciones

  • Raíz cuadrada sqrt
  • sqrt(x)+5
  • sqrt(5*x-x^2)
  • sqrtx
  • sqrt(x)+x^2
  • sqrt(x+2)

Gráfico de la función y = (x+2)/sqrt(x^2-4*x-21)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             x + 2       
f(x) = ------------------
          _______________
         /  2            
       \/  x  - 4*x - 21 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}$$
f = (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21).
$$\frac{2}{\sqrt{-21 + \left(0^{2} - 0\right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{2 \sqrt{21} i}{21}$$
Punto:
(0, -2*i*sqrt(21)/21)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 21\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-17/4, -3/5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{17}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{17}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{17}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{43}{16} + \frac{5 \sqrt{97}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 7^-}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 7^+}\left(- \frac{2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 21} + 1\right) - 4}{\left(x^{2} - 4 x - 21\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 7$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \sqrt{97}}{16} - \frac{43}{16}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 7$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/sqrt(x^2 - 4*x - 21), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) - 21}} = - \frac{2 - x}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 21}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar