Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(x)*log(x)/x

Gráfico de la función y = exp(x)*log(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x       
       e *log(x)
f(x) = ---------
           x
f(x)=exlog⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x} 
f = (exp(x)*log(x))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exlog⁡(x)x=0\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (exp(x)*log(x))/x.
e0log⁡(0)0\frac{e^{0} \log{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exlog⁡(x)+exxx−exlog⁡(x)x2=0\frac{e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}}{x} - \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(log⁡(x)−2(log⁡(x)+1x)x+2x+2log⁡(x)x2−1x2)exx=0\frac{\left(\log{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right)}{x} + \frac{2}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.33785441045589x_{1} = 1.33785441045589
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((log⁡(x)−2(log⁡(x)+1x)x+2x+2log⁡(x)x2−1x2)exx)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right)}{x} + \frac{2}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
lim⁡x→0+((log⁡(x)−2(log⁡(x)+1x)x+2x+2log⁡(x)x2−1x2)exx)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right)}{x} + \frac{2}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x}}{x}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.33785441045589,∞)\left[1.33785441045589, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.33785441045589]\left(-\infty, 1.33785441045589\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exlog⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exlog⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (exp(x)*log(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exlog⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exlog⁡(x)x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exlog⁡(x)x=−e−xlog⁡(−x)x\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x} = - \frac{e^{- x} \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
exlog⁡(x)x=e−xlog⁡(−x)x\frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{x} = \frac{e^{- x} \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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