Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = (sqrt(y^3-y^2))^2+y^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                   2     
          _________      
         /  3    2      2
f(y) = \/  y  - y    + y 
$$f{\left(y \right)} = y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2}$$
f = y^2 + (sqrt(y^3 - y^2))^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en (sqrt(y^3 - y^2))^2 + y^2.
$$\left(\sqrt{0^{3} - 0^{2}}\right)^{2} + 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$2 y + \frac{2 \left(\frac{3 y^{2}}{2} - y\right) \left(y^{3} - y^{2}\right)}{y^{3} - y^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(y^3 - y^2))^2 + y^2, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2}}{y}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2}}{y}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2} = - y^{3}$$
- No
$$y^{2} + \left(\sqrt{y^{3} - y^{2}}\right)^{2} = y^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar