Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(2x)-2cosx

Gráfico de la función y = cos(2x)-2cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*x) - 2*cos(x)
f(x)=−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = -2*cos(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=i(log⁡(2)−log⁡(−3+1−234i))x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)
x2=i(log⁡(2)−log⁡(−3+1+234i))x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)
Solución numérica
x1=8.22871606668322x_{1} = 8.22871606668322
x2=33.3614572954016x_{2} = 33.3614572954016
x3=83.6269397528383x_{3} = 83.6269397528383
x4=35.7535810835739x_{4} = 35.7535810835739
x5=45.9278279097607x_{5} = 45.9278279097607
x6=−89.9101250600178x_{6} = -89.9101250600178
x7=−8.22871606668322x_{7} = -8.22871606668322
x8=−79.735878233831x_{8} = -79.735878233831
x9=29.4703957763943x_{9} = 29.4703957763943
x10=−27.078271988222x_{10} = -27.078271988222
x11=−45.9278279097607x_{11} = -45.9278279097607
x12=79.735878233831x_{12} = 79.735878233831
x13=−42.0367663907535x_{13} = -42.0367663907535
x14=−54.6031370051126x_{14} = -54.6031370051126
x15=73.4526929266514x_{15} = 73.4526929266514
x16=10.6208398548555x_{16} = 10.6208398548555
x17=−29.4703957763943x_{17} = -29.4703957763943
x18=−60.8863223122922x_{18} = -60.8863223122922
x19=−58.4941985241199x_{19} = -58.4941985241199
x20=−10.6208398548555x_{20} = -10.6208398548555
x21=58.4941985241199x_{21} = 58.4941985241199
x22=64.7773838312995x_{22} = 64.7773838312995
x23=60.8863223122922x_{23} = 60.8863223122922
x24=−96.1933103671974x_{24} = -96.1933103671974
x25=4.33765454767595x_{25} = 4.33765454767595
x26=−92.3022488481902x_{26} = -92.3022488481902
x27=−20.7950866810424x_{27} = -20.7950866810424
x28=42.0367663907535x_{28} = 42.0367663907535
x29=−73.4526929266514x_{29} = -73.4526929266514
x30=4324.77702209906x_{30} = 4324.77702209906
x31=16.9040251620351x_{31} = 16.9040251620351
x32=−14.5119013738628x_{32} = -14.5119013738628
x33=92.3022488481902x_{33} = 92.3022488481902
x34=39.6446426025812x_{34} = 39.6446426025812
x35=89.9101250600178x_{35} = 89.9101250600178
x36=−71.0605691384791x_{36} = -71.0605691384791
x37=86.0190635410106x_{37} = 86.0190635410106
x38=52.2110132169403x_{38} = 52.2110132169403
x39=−35.7535810835739x_{39} = -35.7535810835739
x40=54.6031370051126x_{40} = 54.6031370051126
x41=−52.2110132169403x_{41} = -52.2110132169403
x42=−23.1872104692147x_{42} = -23.1872104692147
x43=−33.3614572954016x_{43} = -33.3614572954016
x44=14.5119013738628x_{44} = 14.5119013738628
x45=20.7950866810424x_{45} = 20.7950866810424
x46=96.1933103671974x_{46} = 96.1933103671974
x47=−4.33765454767595x_{47} = -4.33765454767595
x48=−83.6269397528383x_{48} = -83.6269397528383
x49=98.5854341553698x_{49} = 98.5854341553698
x50=−77.3437544456587x_{50} = -77.3437544456587
x51=−39.6446426025812x_{51} = -39.6446426025812
x52=−67.1695076194718x_{52} = -67.1695076194718
x53=48.3199516979331x_{53} = 48.3199516979331
x54=−98.5854341553698x_{54} = -98.5854341553698
x55=−48.3199516979331x_{55} = -48.3199516979331
x56=71.0605691384791x_{56} = 71.0605691384791
x57=−1.94553075950364x_{57} = -1.94553075950364
x58=−86.0190635410106x_{58} = -86.0190635410106
x59=−130.001360691268x_{59} = -130.001360691268
x60=1.94553075950364x_{60} = 1.94553075950364
x61=77.3437544456587x_{61} = 77.3437544456587
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x) - 2*cos(x).
−2cos⁡(0)+cos⁡(0⋅2)- 2 \cos{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)−2sin⁡(2x)=02 \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−5π3x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}
x3=−πx_{3} = - \pi
x4=−π3x_{4} = - \frac{\pi}{3}
x5=π3x_{5} = \frac{\pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi
x7=5π3x_{7} = \frac{5 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

 -5*pi       
(-----, -3/2)
   3         

(-pi, 3)

 -pi        
(----, -3/2)
  3         

 pi       
(--, -3/2)
 3        

(pi, 3)

 5*pi       
(----, -3/2)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
x4=5π3x_{4} = \frac{5 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x4=0x_{4} = 0
x4=−πx_{4} = - \pi
x4=πx_{4} = \pi
Decrece en los intervalos
[5π3,∞)\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5π3]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cos⁡(x)−2cos⁡(2x))=02 \left(\cos{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(18+338−2i15−338)x_{1} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(18+338+2i15−338)x_{2} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−338+18−2i33+158)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(−338+18+2i33+158)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(233+151−33),−atan⁡(215−331+33)]∪[atan⁡(215−331+33),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(233+151−33)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(−2cos⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) - 2*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)=−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
−2cos⁡(x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(x)−cos⁡(2x)- 2 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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