Sr Examen

Gráfico de la función y = sin(5-3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = sin(5 - 3*x)
f(x)=sin(53x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 - 3 x \right)}
f = sin(5 - 3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin(53x)=0\sin{\left(5 - 3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
x2=π3+53x_{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{5}{3}
Solución numérica
x1=86.2979276338476x_{1} = -86.2979276338476
x2=56.1209393288897x_{2} = 56.1209393288897
x3=27.6548647668381x_{3} = -27.6548647668381
x4=23.4660745620517x_{4} = -23.4660745620517
x5=90.6784585183775x_{5} = 90.6784585183775
x6=73.9232976992319x_{6} = 73.9232976992319
x7=65.5457172896591x_{7} = 65.5457172896591
x8=30.9881981001714x_{8} = 30.9881981001714
x9=98.0088413767537x_{9} = 98.0088413767537
x10=60.3097295336761x_{10} = 60.3097295336761
x11=33.9380500740177x_{11} = -33.9380500740177
x12=55.9291986491462x_{12} = -55.9291986491462
x13=20.5162225882054x_{13} = 20.5162225882054
x14=42.507371163334x_{14} = 42.507371163334
x15=25.5604696644449x_{15} = -25.5604696644449
x16=91.7256560695741x_{16} = 91.7256560695741
x17=51.7404084443598x_{17} = -51.7404084443598
x18=93.8200511719673x_{18} = 93.8200511719673
x19=80.2064830064115x_{19} = 80.2064830064115
x20=84.2035325314543x_{20} = -84.2035325314543
x21=10.0442470762394x_{21} = 10.0442470762394
x22=34.1297907537612x_{22} = 34.1297907537612
x23=36.0324451764109x_{23} = -36.0324451764109
x24=29.9410005489748x_{24} = 29.9410005489748
x25=100.103236479147x_{25} = 100.103236479147
x26=58.2153344312829x_{26} = 58.2153344312829
x27=75.8259521218816x_{27} = -75.8259521218816
x28=71.6371619170952x_{28} = -71.6371619170952
x29=18.2300868060687x_{29} = -18.2300868060687
x30=62.4041246360693x_{30} = 62.4041246360693
x31=95.7227055946169x_{31} = -95.7227055946169
x32=1.47492598692313x_{32} = -1.47492598692313
x33=36.2241858561544x_{33} = 36.2241858561544
x34=38.3185809585476x_{34} = 38.3185809585476
x35=49.8377540217102x_{35} = 49.8377540217102
x36=14.0412966012823x_{36} = -14.0412966012823
x37=95.9144462743605x_{37} = 95.9144462743605
x38=80.014742326668x_{38} = -80.014742326668
x39=91.5339153898305x_{39} = -91.5339153898305
x40=60.1179888539326x_{40} = -60.1179888539326
x41=5.85545687145306x_{41} = 5.85545687145306
x42=64.4985197384625x_{42} = 64.4985197384625
x43=29.7492598692313x_{43} = -29.7492598692313
x44=69.542766814702x_{44} = -69.542766814702
x45=54.0265442264966x_{45} = 54.0265442264966
x46=78.1120879040183x_{46} = 78.1120879040183
x47=47.743358919317x_{47} = 47.743358919317
x48=38.126840278804x_{48} = -38.126840278804
x49=22.6106176905986x_{49} = 22.6106176905986
x50=93.6283104922237x_{50} = -93.6283104922237
x51=14.2330372810258x_{51} = 14.2330372810258
x52=47.5516182395734x_{52} = -47.5516182395734
x53=51.9321491241034x_{53} = 51.9321491241034
x54=3.76106176905986x_{54} = 3.76106176905986
x55=64.306779058719x_{55} = -64.306779058719
x56=39.1740378300006x_{56} = -39.1740378300006
x57=97.8171006970101x_{57} = -97.8171006970101
x58=86.4896683135911x_{58} = 86.4896683135911
x59=9.85250639649591x_{59} = -9.85250639649591
x60=49.6460133419666x_{60} = -49.6460133419666
x61=58.0235937515394x_{61} = -58.0235937515394
x62=32.035395651368x_{62} = 32.035395651368
x63=67.4483717123088x_{63} = -67.4483717123088
x64=82.1091374290611x_{64} = -82.1091374290611
x65=21.3716794596585x_{65} = -21.3716794596585
x66=3.56932108931632x_{66} = -3.56932108931632
x67=69.7345074944455x_{67} = 69.7345074944455
x68=77.9203472242748x_{68} = -77.9203472242748
x69=40.2212353811972x_{69} = -40.2212353811972
x70=7.75811129410271x_{70} = -7.75811129410271
x71=0.619469115470069x_{71} = 0.619469115470069
x72=82.3008781088047x_{72} = 82.3008781088047
x73=722.994038761379x_{73} = -722.994038761379
x74=45.4572231371802x_{74} = -45.4572231371802
x75=7.94985197384625x_{75} = 7.94985197384625
x76=25.7522103441884x_{76} = 25.7522103441884
x77=31.8436549716245x_{77} = -31.8436549716245
x78=71.8289025968387x_{78} = 71.8289025968387
x79=62.2123839563258x_{79} = -62.2123839563258
x80=18.4218274858122x_{80} = 18.4218274858122
x81=19.2772843572653x_{81} = -19.2772843572653
x82=84.3952732111979x_{82} = 84.3952732111979
x83=16.327432383419x_{83} = 16.327432383419
x84=53.834803546753x_{84} = -53.834803546753
x85=27.8466054465816x_{85} = 27.8466054465816
x86=16.1356917036755x_{86} = -16.1356917036755
x87=73.7315570194884x_{87} = -73.7315570194884
x88=76.0176928016251x_{88} = 76.0176928016251
x89=5.66371619170952x_{89} = -5.66371619170952
x90=11.9469014988891x_{90} = -11.9469014988891
x91=99.9114957994033x_{91} = -99.9114957994033
x92=12.1386421786326x_{92} = 12.1386421786326
x93=40.4129760609408x_{93} = 40.4129760609408
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(5 - 3*x).
sin(50)\sin{\left(5 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=sin(5)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(5 \right)}
Punto:
(0, sin(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3cos(3x5)=0- 3 \cos{\left(3 x - 5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6+53x_{1} = \frac{\pi}{6} + \frac{5}{3}
x2=π2+53x_{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{5}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 5   pi     
(- + --, -1)
 3   6      

 5   pi    
(- + --, 1)
 3   2     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π6+53x_{1} = \frac{\pi}{6} + \frac{5}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=π2+53x_{1} = \frac{\pi}{2} + \frac{5}{3}
Decrece en los intervalos
[π6+53,π2+53]\left[\frac{\pi}{6} + \frac{5}{3}, \frac{\pi}{2} + \frac{5}{3}\right]
Crece en los intervalos
(,π6+53][π2+53,)\left(-\infty, \frac{\pi}{6} + \frac{5}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2} + \frac{5}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9sin(3x5)=09 \sin{\left(3 x - 5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
x2=π3+53x_{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{5}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[53,π3+53]\left[\frac{5}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{5}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(,53][π3+53,)\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxsin(53x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(5 - 3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxsin(53x)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin{\left(5 - 3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(5 - 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(sin(53x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 - 3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(sin(53x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 - 3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin(53x)=sin(3x+5)\sin{\left(5 - 3 x \right)} = \sin{\left(3 x + 5 \right)}
- No
sin(53x)=sin(3x+5)\sin{\left(5 - 3 x \right)} = - \sin{\left(3 x + 5 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar