Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(2*x)/2

Gráfico de la función y = sin(2*x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(2*x)
f(x) = --------
          2
f(x)=sin⁡(2x)2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} 
f = sin(2*x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)2=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=89.5353906273091x_{1} = 89.5353906273091
x2=−15.707963267949x_{2} = -15.707963267949
x3=−31.4159265358979x_{3} = -31.4159265358979
x4=42.4115008234622x_{4} = 42.4115008234622
x5=21.9911485751286x_{5} = 21.9911485751286
x6=0x_{6} = 0
x7=−42.4115008234622x_{7} = -42.4115008234622
x8=−29.845130209103x_{8} = -29.845130209103
x9=−21.9911485751286x_{9} = -21.9911485751286
x10=−36.1283155162826x_{10} = -36.1283155162826
x11=28.2743338823081x_{11} = 28.2743338823081
x12=86.3937979737193x_{12} = 86.3937979737193
x13=72.2566310325652x_{13} = 72.2566310325652
x14=−94.2477796076938x_{14} = -94.2477796076938
x15=−61.261056745001x_{15} = -61.261056745001
x16=−40.8407044966673x_{16} = -40.8407044966673
x17=87.9645943005142x_{17} = 87.9645943005142
x18=−95.8185759344887x_{18} = -95.8185759344887
x19=−50.2654824574367x_{19} = -50.2654824574367
x20=23.5619449019235x_{20} = 23.5619449019235
x21=−43.9822971502571x_{21} = -43.9822971502571
x22=−97.3893722612836x_{22} = -97.3893722612836
x23=50.2654824574367x_{23} = 50.2654824574367
x24=590.619418874881x_{24} = 590.619418874881
x25=−14.1371669411541x_{25} = -14.1371669411541
x26=59.6902604182061x_{26} = 59.6902604182061
x27=−119.380520836412x_{27} = -119.380520836412
x28=58.1194640914112x_{28} = 58.1194640914112
x29=−53.4070751110265x_{29} = -53.4070751110265
x30=−48.6946861306418x_{30} = -48.6946861306418
x31=−23.5619449019235x_{31} = -23.5619449019235
x32=−86.3937979737193x_{32} = -86.3937979737193
x33=−17.2787595947439x_{33} = -17.2787595947439
x34=12.5663706143592x_{34} = 12.5663706143592
x35=−81.6814089933346x_{35} = -81.6814089933346
x36=94.2477796076938x_{36} = 94.2477796076938
x37=81.6814089933346x_{37} = 81.6814089933346
x38=−67.5442420521806x_{38} = -67.5442420521806
x39=−80.1106126665397x_{39} = -80.1106126665397
x40=−1.5707963267949x_{40} = -1.5707963267949
x41=31.4159265358979x_{41} = 31.4159265358979
x42=92.6769832808989x_{42} = 92.6769832808989
x43=36.1283155162826x_{43} = 36.1283155162826
x44=−39.2699081698724x_{44} = -39.2699081698724
x45=−28.2743338823081x_{45} = -28.2743338823081
x46=4.71238898038469x_{46} = 4.71238898038469
x47=48.6946861306418x_{47} = 48.6946861306418
x48=−72.2566310325652x_{48} = -72.2566310325652
x49=37.6991118430775x_{49} = 37.6991118430775
x50=70.6858347057703x_{50} = 70.6858347057703
x51=−45.553093477052x_{51} = -45.553093477052
x52=−89.5353906273091x_{52} = -89.5353906273091
x53=65.9734457253857x_{53} = 65.9734457253857
x54=73.8274273593601x_{54} = 73.8274273593601
x55=20.4203522483337x_{55} = 20.4203522483337
x56=−483.805268652828x_{56} = -483.805268652828
x57=−87.9645943005142x_{57} = -87.9645943005142
x58=1.5707963267949x_{58} = 1.5707963267949
x59=45.553093477052x_{59} = 45.553093477052
x60=78.5398163397448x_{60} = 78.5398163397448
x61=−6.28318530717959x_{61} = -6.28318530717959
x62=95.8185759344887x_{62} = 95.8185759344887
x63=15.707963267949x_{63} = 15.707963267949
x64=−20.4203522483337x_{64} = -20.4203522483337
x65=−58.1194640914112x_{65} = -58.1194640914112
x66=56.5486677646163x_{66} = 56.5486677646163
x67=113.097335529233x_{67} = 113.097335529233
x68=80.1106126665397x_{68} = 80.1106126665397
x69=7.85398163397448x_{69} = 7.85398163397448
x70=26.7035375555132x_{70} = 26.7035375555132
x71=29.845130209103x_{71} = 29.845130209103
x72=−65.9734457253857x_{72} = -65.9734457253857
x73=43.9822971502571x_{73} = 43.9822971502571
x74=14.1371669411541x_{74} = 14.1371669411541
x75=−37.6991118430775x_{75} = -37.6991118430775
x76=−59.6902604182061x_{76} = -59.6902604182061
x77=−64.4026493985908x_{77} = -64.4026493985908
x78=−83.2522053201295x_{78} = -83.2522053201295
x79=−75.398223686155x_{79} = -75.398223686155
x80=51.8362787842316x_{80} = 51.8362787842316
x81=100.530964914873x_{81} = 100.530964914873
x82=64.4026493985908x_{82} = 64.4026493985908
x83=34.5575191894877x_{83} = 34.5575191894877
x84=−73.8274273593601x_{84} = -73.8274273593601
x85=6.28318530717959x_{85} = 6.28318530717959
x86=−9.42477796076938x_{86} = -9.42477796076938
x87=−51.8362787842316x_{87} = -51.8362787842316
x88=67.5442420521806x_{88} = 67.5442420521806
x89=−7.85398163397448x_{89} = -7.85398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x)/2.
sin⁡(0⋅2)2\frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(2x)=0\cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi  1 
(--, -)
 4   2 

 3*pi       
(----, -1/2)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)2=−sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}
- No
sin⁡(2x)2=sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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