Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x^3/(3-x^2)
-
x^3-x^2+2
-
(x^3+4)/x^2
-
Expresiones idénticas
- (cos(x)*log(x))/x
- ( coseno de (x) multiplicar por logaritmo de (x)) dividir por x
- (cos(x)log(x))/x
- cosxlogx/x
- (cos(x)*log(x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (cosx*log(x))/x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos^2(x)-cos(x)
- cosx-x
- cosx*cos2x
- cos(x)*2
- cos(x)^2-sin(x)
- Logaritmo log
- log(x)/(x^2+1)
- log(x)/x^(1/2)
- log(x/3)^(3)
- log(x)+sin(x)
- log(x)-x^3
Gráfico de la función y = (cos(x)*log(x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)*log(x)
f(x) = -------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}$$
f = (log(x)*cos(x))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -36.1283155162826$$
$$x_{2} = -32.9867228626928$$
$$x_{3} = 89.5353906273091$$
$$x_{4} = -98.9601685880785$$
$$x_{5} = -58.1194640914112$$
$$x_{6} = 61.261056745001$$
$$x_{7} = 42.4115008234622$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = 17.2787595947439$$
$$x_{10} = -54.9778714378214$$
$$x_{11} = -64.4026493985908$$
$$x_{12} = 86.3937979737193$$
$$x_{13} = 139.800873084746$$
$$x_{14} = -45.553093477052$$
$$x_{15} = -70.6858347057703$$
$$x_{16} = -80.1106126665397$$
$$x_{17} = -39.2699081698724$$
$$x_{18} = -86.3937979737193$$
$$x_{19} = -51.8362787842316$$
$$x_{20} = 23.5619449019235$$
$$x_{21} = -29.845130209103$$
$$x_{22} = 58.1194640914112$$
$$x_{23} = -89.5353906273091$$
$$x_{24} = 10.9955742875643$$
$$x_{25} = -67.5442420521806$$
$$x_{26} = -48.6946861306418$$
$$x_{27} = -26.7035375555132$$
$$x_{28} = -17.2787595947439$$
$$x_{29} = -1.5707963267949$$
$$x_{30} = -76.9690200129499$$
$$x_{31} = 92.6769832808989$$
$$x_{32} = 36.1283155162826$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 4.71238898038469$$
$$x_{35} = 48.6946861306418$$
$$x_{36} = -92.6769832808989$$
$$x_{37} = 76.9690200129499$$
$$x_{38} = 98.9601685880785$$
$$x_{39} = 284.314135149876$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 83.2522053201295$$
$$x_{42} = 70.6858347057703$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = -23.5619449019235$$
$$x_{45} = 73.8274273593601$$
$$x_{46} = 20.4203522483337$$
$$x_{47} = -7.85398163397448$$
$$x_{48} = 1.5707963267949$$
$$x_{49} = 45.553093477052$$
$$x_{50} = 95.8185759344887$$
$$x_{51} = 80.1106126665397$$
$$x_{52} = 7.85398163397448$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = -20.4203522483337$$
$$x_{55} = 29.845130209103$$
$$x_{56} = 14.1371669411541$$
$$x_{57} = -61.261056745001$$
$$x_{58} = 39.2699081698724$$
$$x_{59} = 51.8362787842316$$
$$x_{60} = 64.4026493985908$$
$$x_{61} = 32.9867228626928$$
$$x_{62} = 67.5442420521806$$
$$x_{63} = -14.1371669411541$$
$$x_{64} = -95.8185759344887$$
$$x_{65} = -83.2522053201295$$
$$x_{66} = 54.9778714378214$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -36.1283155162826$$
$$x_{2} = -32.9867228626928$$
$$x_{3} = 89.5353906273091$$
$$x_{4} = -98.9601685880785$$
$$x_{5} = -58.1194640914112$$
$$x_{6} = 61.261056745001$$
$$x_{7} = 42.4115008234622$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = 17.2787595947439$$
$$x_{10} = -54.9778714378214$$
$$x_{11} = -64.4026493985908$$
$$x_{12} = 86.3937979737193$$
$$x_{13} = 139.800873084746$$
$$x_{14} = -45.553093477052$$
$$x_{15} = -70.6858347057703$$
$$x_{16} = -80.1106126665397$$
$$x_{17} = -39.2699081698724$$
$$x_{18} = -86.3937979737193$$
$$x_{19} = -51.8362787842316$$
$$x_{20} = 23.5619449019235$$
$$x_{21} = -29.845130209103$$
$$x_{22} = 58.1194640914112$$
$$x_{23} = -89.5353906273091$$
$$x_{24} = 10.9955742875643$$
$$x_{25} = -67.5442420521806$$
$$x_{26} = -48.6946861306418$$
$$x_{27} = -26.7035375555132$$
$$x_{28} = -17.2787595947439$$
$$x_{29} = -1.5707963267949$$
$$x_{30} = -76.9690200129499$$
$$x_{31} = 92.6769832808989$$
$$x_{32} = 36.1283155162826$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 4.71238898038469$$
$$x_{35} = 48.6946861306418$$
$$x_{36} = -92.6769832808989$$
$$x_{37} = 76.9690200129499$$
$$x_{38} = 98.9601685880785$$
$$x_{39} = 284.314135149876$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 83.2522053201295$$
$$x_{42} = 70.6858347057703$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = -23.5619449019235$$
$$x_{45} = 73.8274273593601$$
$$x_{46} = 20.4203522483337$$
$$x_{47} = -7.85398163397448$$
$$x_{48} = 1.5707963267949$$
$$x_{49} = 45.553093477052$$
$$x_{50} = 95.8185759344887$$
$$x_{51} = 80.1106126665397$$
$$x_{52} = 7.85398163397448$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = -20.4203522483337$$
$$x_{55} = 29.845130209103$$
$$x_{56} = 14.1371669411541$$
$$x_{57} = -61.261056745001$$
$$x_{58} = 39.2699081698724$$
$$x_{59} = 51.8362787842316$$
$$x_{60} = 64.4026493985908$$
$$x_{61} = 32.9867228626928$$
$$x_{62} = 67.5442420521806$$
$$x_{63} = -14.1371669411541$$
$$x_{64} = -95.8185759344887$$
$$x_{65} = -83.2522053201295$$
$$x_{66} = 54.9778714378214$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}}{x} - \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 78.5300009775176$$
$$x_{2} = 28.2495351849919$$
$$x_{3} = 12.5181339521163$$
$$x_{4} = 235.615981850267$$
$$x_{5} = 81.6719462076133$$
$$x_{6} = 43.9655654356523$$
$$x_{7} = 75.3880279862188$$
$$x_{8} = 21.9603621057777$$
$$x_{9} = 6.21046486136144$$
$$x_{10} = 15.6673551121174$$
$$x_{11} = 72.2460237966642$$
$$x_{12} = 47.1081735560828$$
$$x_{13} = 18.8145312971363$$
$$x_{14} = 59.6776024281812$$
$$x_{15} = 106.806792076864$$
$$x_{16} = 87.9557647749166$$
$$x_{17} = 34.5367421211789$$
$$x_{18} = 31.3933186159783$$
$$x_{19} = 100.523174843678$$
$$x_{20} = 56.5353643048681$$
$$x_{21} = 40.8228143742016$$
$$x_{22} = 62.8197799157523$$
$$x_{23} = 53.3930555318402$$
$$x_{24} = 91.0976428635494$$
$$x_{25} = 37.6798877318889$$
$$x_{26} = 69.1039843779186$$
$$x_{27} = 25.1052743267881$$
$$x_{28} = 97.3813463145512$$
$$x_{29} = 9.36580336160393$$
$$x_{30} = 50.250663755363$$
$$x_{31} = 84.8138666252925$$
$$x_{32} = 65.9619049708704$$
$$x_{33} = 3.10387820954899$$
$$x_{34} = 94.2395028151351$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 78.5300009775176$$
$$x_{2} = 28.2495351849919$$
$$x_{3} = 235.615981850267$$
$$x_{4} = 21.9603621057777$$
$$x_{5} = 15.6673551121174$$
$$x_{6} = 72.2460237966642$$
$$x_{7} = 47.1081735560828$$
$$x_{8} = 59.6776024281812$$
$$x_{9} = 34.5367421211789$$
$$x_{10} = 40.8228143742016$$
$$x_{11} = 53.3930555318402$$
$$x_{12} = 91.0976428635494$$
$$x_{13} = 97.3813463145512$$
$$x_{14} = 9.36580336160393$$
$$x_{15} = 84.8138666252925$$
$$x_{16} = 65.9619049708704$$
$$x_{17} = 3.10387820954899$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{17} = 12.5181339521163$$
$$x_{17} = 81.6719462076133$$
$$x_{17} = 43.9655654356523$$
$$x_{17} = 75.3880279862188$$
$$x_{17} = 6.21046486136144$$
$$x_{17} = 18.8145312971363$$
$$x_{17} = 106.806792076864$$
$$x_{17} = 87.9557647749166$$
$$x_{17} = 31.3933186159783$$
$$x_{17} = 100.523174843678$$
$$x_{17} = 56.5353643048681$$
$$x_{17} = 62.8197799157523$$
$$x_{17} = 37.6798877318889$$
$$x_{17} = 69.1039843779186$$
$$x_{17} = 25.1052743267881$$
$$x_{17} = 50.250663755363$$
$$x_{17} = 94.2395028151351$$
Decrece en los intervalos
$$\left[235.615981850267, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.10387820954899\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}}{x} - \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 78.5300009775176$$
$$x_{2} = 28.2495351849919$$
$$x_{3} = 12.5181339521163$$
$$x_{4} = 235.615981850267$$
$$x_{5} = 81.6719462076133$$
$$x_{6} = 43.9655654356523$$
$$x_{7} = 75.3880279862188$$
$$x_{8} = 21.9603621057777$$
$$x_{9} = 6.21046486136144$$
$$x_{10} = 15.6673551121174$$
$$x_{11} = 72.2460237966642$$
$$x_{12} = 47.1081735560828$$
$$x_{13} = 18.8145312971363$$
$$x_{14} = 59.6776024281812$$
$$x_{15} = 106.806792076864$$
$$x_{16} = 87.9557647749166$$
$$x_{17} = 34.5367421211789$$
$$x_{18} = 31.3933186159783$$
$$x_{19} = 100.523174843678$$
$$x_{20} = 56.5353643048681$$
$$x_{21} = 40.8228143742016$$
$$x_{22} = 62.8197799157523$$
$$x_{23} = 53.3930555318402$$
$$x_{24} = 91.0976428635494$$
$$x_{25} = 37.6798877318889$$
$$x_{26} = 69.1039843779186$$
$$x_{27} = 25.1052743267881$$
$$x_{28} = 97.3813463145512$$
$$x_{29} = 9.36580336160393$$
$$x_{30} = 50.250663755363$$
$$x_{31} = 84.8138666252925$$
$$x_{32} = 65.9619049708704$$
$$x_{33} = 3.10387820954899$$
$$x_{34} = 94.2395028151351$$
Signos de extremos en los puntos:
(78.53000097751762, -0.0555618296883805)
(28.249535184991906, -0.118233793743501)
(12.518133952116258, 0.201646571326081)
(235.6159818502671, -0.0231825125359055)
(81.67194620761326, 0.0539048431472281)
(43.96556543565231, 0.0860418174038127)
(75.38802798621876, 0.057335679486138)
(21.96036210577774, -0.140606753469804)
(6.210464861361438, 0.293280633678627)
(15.667355112117379, -0.175480216007763)
(72.24602379666425, -0.0592397516946608)
(47.10817355608283, -0.0817686287369255)
(18.814531297136263, 0.155881093161516)
(59.6776024281812, -0.0685119549605227)
(106.80679207686384, 0.0437321913761126)
(87.95576477491664, 0.0508967151785242)
(34.536742121178875, -0.102535995995198)
(31.393318615978266, 0.109759479669534)
(100.52317484367785, 0.0458625427724814)
(56.53536430486812, 0.0713625774712606)
(40.82281437420156, -0.0908474241750107)
(62.8197799157523, 0.0659023042545458)
(53.393055531840226, -0.0744907695258853)
(91.09764286354941, -0.0495267177073268)
(37.6798877318889, 0.0962968869484132)
(69.1039843779186, 0.0612895718558896)
(25.10527432678807, 0.128334078194817)
(97.38134631455124, -0.0470160598701942)
(9.365803361603932, -0.238439341167104)
(50.25066375536302, 0.0779411333853984)
(84.8138666252925, -0.0523531582019414)
(65.96190497087038, -0.0635032965372139)
(3.103878209548991, -0.364655715645707)
(94.2395028151351, 0.0482354384543852)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 78.5300009775176$$
$$x_{2} = 28.2495351849919$$
$$x_{3} = 235.615981850267$$
$$x_{4} = 21.9603621057777$$
$$x_{5} = 15.6673551121174$$
$$x_{6} = 72.2460237966642$$
$$x_{7} = 47.1081735560828$$
$$x_{8} = 59.6776024281812$$
$$x_{9} = 34.5367421211789$$
$$x_{10} = 40.8228143742016$$
$$x_{11} = 53.3930555318402$$
$$x_{12} = 91.0976428635494$$
$$x_{13} = 97.3813463145512$$
$$x_{14} = 9.36580336160393$$
$$x_{15} = 84.8138666252925$$
$$x_{16} = 65.9619049708704$$
$$x_{17} = 3.10387820954899$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{17} = 12.5181339521163$$
$$x_{17} = 81.6719462076133$$
$$x_{17} = 43.9655654356523$$
$$x_{17} = 75.3880279862188$$
$$x_{17} = 6.21046486136144$$
$$x_{17} = 18.8145312971363$$
$$x_{17} = 106.806792076864$$
$$x_{17} = 87.9557647749166$$
$$x_{17} = 31.3933186159783$$
$$x_{17} = 100.523174843678$$
$$x_{17} = 56.5353643048681$$
$$x_{17} = 62.8197799157523$$
$$x_{17} = 37.6798877318889$$
$$x_{17} = 69.1039843779186$$
$$x_{17} = 25.1052743267881$$
$$x_{17} = 50.250663755363$$
$$x_{17} = 94.2395028151351$$
Decrece en los intervalos
$$\left[235.615981850267, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.10387820954899\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 17.2032668835578$$
$$x_{2} = 312.583184445421$$
$$x_{3} = 20.3546376698319$$
$$x_{4} = 51.8074483570826$$
$$x_{5} = 73.8066272481509$$
$$x_{6} = 26.6513211955861$$
$$x_{7} = 7.72127542183095$$
$$x_{8} = 23.5037595005228$$
$$x_{9} = 45.5206568659416$$
$$x_{10} = 98.9443537671712$$
$$x_{11} = 208.908129948632$$
$$x_{12} = 76.9490114520006$$
$$x_{13} = 4.56375098168149$$
$$x_{14} = 86.3758352103311$$
$$x_{15} = 64.3790396896026$$
$$x_{16} = 95.8022745113918$$
$$x_{17} = 80.0913367438338$$
$$x_{18} = 48.6641605711106$$
$$x_{19} = 36.0883360850846$$
$$x_{20} = 10.888558699596$$
$$x_{21} = 58.0935082950121$$
$$x_{22} = 83.233609501116$$
$$x_{23} = 42.3768928792586$$
$$x_{24} = 89.5180186175567$$
$$x_{25} = 61.2363304550706$$
$$x_{26} = 54.9505550330322$$
$$x_{27} = 67.5216509558312$$
$$x_{28} = 70.6641766749135$$
$$x_{29} = 92.660163849477$$
$$x_{30} = 29.797760237292$$
$$x_{31} = 32.943365810315$$
$$x_{32} = 14.0485210070001$$
$$x_{33} = 39.2328111801618$$
$$x_{34} = 1.89753547292415$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[208.908129948632, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.89753547292415\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 17.2032668835578$$
$$x_{2} = 312.583184445421$$
$$x_{3} = 20.3546376698319$$
$$x_{4} = 51.8074483570826$$
$$x_{5} = 73.8066272481509$$
$$x_{6} = 26.6513211955861$$
$$x_{7} = 7.72127542183095$$
$$x_{8} = 23.5037595005228$$
$$x_{9} = 45.5206568659416$$
$$x_{10} = 98.9443537671712$$
$$x_{11} = 208.908129948632$$
$$x_{12} = 76.9490114520006$$
$$x_{13} = 4.56375098168149$$
$$x_{14} = 86.3758352103311$$
$$x_{15} = 64.3790396896026$$
$$x_{16} = 95.8022745113918$$
$$x_{17} = 80.0913367438338$$
$$x_{18} = 48.6641605711106$$
$$x_{19} = 36.0883360850846$$
$$x_{20} = 10.888558699596$$
$$x_{21} = 58.0935082950121$$
$$x_{22} = 83.233609501116$$
$$x_{23} = 42.3768928792586$$
$$x_{24} = 89.5180186175567$$
$$x_{25} = 61.2363304550706$$
$$x_{26} = 54.9505550330322$$
$$x_{27} = 67.5216509558312$$
$$x_{28} = 70.6641766749135$$
$$x_{29} = 92.660163849477$$
$$x_{30} = 29.797760237292$$
$$x_{31} = 32.943365810315$$
$$x_{32} = 14.0485210070001$$
$$x_{33} = 39.2328111801618$$
$$x_{34} = 1.89753547292415$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[208.908129948632, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.89753547292415\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x)*log(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar