Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$