Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^2+1)(x-1)
-
-x^2*(1-x^4)/(-1-x^4)
-
(x+1)*(7-x)^(1/2)
-
(x^(2)+1)/(x^(2)-1)
-
Expresiones idénticas
- dos (cos(t))^ tres
- 2( coseno de (t)) al cubo
- dos ( coseno de (t)) en el grado tres
- 2(cos(t))3
- 2cost3
- 2(cos(t))³
- 2(cos(t)) en el grado 3
- 2cost^3
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x^5-cot(x)^(2))*(5*x^4+2*cot(x)/sin(x)^(2))
- cos(x)+4*x
- cos(x+pi/4)-4
- cos(x)/cos(x)2
- cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2))
Gráfico de la función y = 2(cos(t))^3
Solución
Ha introducido
[src]
3 f(t) = 2*cos (t)
$$f{\left(t \right)} = 2 \cos^{3}{\left(t \right)}$$
f = 2*cos(t)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 36.128317789764$$
$$t_{2} = -20.4203505482106$$
$$t_{3} = 58.1194603256925$$
$$t_{4} = -45.5531401844306$$
$$t_{5} = -95.8185603030962$$
$$t_{6} = 92.6770059000324$$
$$t_{7} = -14.1371260033657$$
$$t_{8} = 70.6858302611407$$
$$t_{9} = 64.4026122770508$$
$$t_{10} = 26.7034598912501$$
$$t_{11} = 23.5619763533234$$
$$t_{12} = 51.8363261592826$$
$$t_{13} = -23.5619897288019$$
$$t_{14} = 20.4203112367381$$
$$t_{15} = -1.57083925518957$$
$$t_{16} = 48.6946439323886$$
$$t_{17} = 1.57080273224359$$
$$t_{18} = -7.85396939058216$$
$$t_{19} = 14.1371748405436$$
$$t_{20} = 73.8274768053124$$
$$t_{21} = -67.5442906223714$$
$$t_{22} = 29.8451754771722$$
$$t_{23} = 42.4114617473496$$
$$t_{24} = -51.8362625267018$$
$$t_{25} = 80.1106035284868$$
$$t_{26} = -89.5354410428862$$
$$t_{27} = -73.827410994311$$
$$t_{28} = -42.4114638604687$$
$$t_{29} = 45.5531567451367$$
$$t_{30} = -58.1194276545353$$
$$t_{31} = 7.85402475701276$$
$$t_{32} = -29.8451152214988$$
$$t_{33} = -36.1282768063468$$
$$t_{34} = 95.818627417042$$
$$t_{35} = -80.1105785507599$$
$$t_{36} = 86.3937628262857$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 36.128317789764$$
$$t_{2} = -20.4203505482106$$
$$t_{3} = 58.1194603256925$$
$$t_{4} = -45.5531401844306$$
$$t_{5} = -95.8185603030962$$
$$t_{6} = 92.6770059000324$$
$$t_{7} = -14.1371260033657$$
$$t_{8} = 70.6858302611407$$
$$t_{9} = 64.4026122770508$$
$$t_{10} = 26.7034598912501$$
$$t_{11} = 23.5619763533234$$
$$t_{12} = 51.8363261592826$$
$$t_{13} = -23.5619897288019$$
$$t_{14} = 20.4203112367381$$
$$t_{15} = -1.57083925518957$$
$$t_{16} = 48.6946439323886$$
$$t_{17} = 1.57080273224359$$
$$t_{18} = -7.85396939058216$$
$$t_{19} = 14.1371748405436$$
$$t_{20} = 73.8274768053124$$
$$t_{21} = -67.5442906223714$$
$$t_{22} = 29.8451754771722$$
$$t_{23} = 42.4114617473496$$
$$t_{24} = -51.8362625267018$$
$$t_{25} = 80.1106035284868$$
$$t_{26} = -89.5354410428862$$
$$t_{27} = -73.827410994311$$
$$t_{28} = -42.4114638604687$$
$$t_{29} = 45.5531567451367$$
$$t_{30} = -58.1194276545353$$
$$t_{31} = 7.85402475701276$$
$$t_{32} = -29.8451152214988$$
$$t_{33} = -36.1282768063468$$
$$t_{34} = 95.818627417042$$
$$t_{35} = -80.1105785507599$$
$$t_{36} = 86.3937628262857$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$t_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$t_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 \sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$t_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$t_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$t_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 \sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$t_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$t_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$t_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \cos^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \cos^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(2 \cos^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(2 \cos^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(t)^3, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \cos^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \cos^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{2 \cos^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{2 \cos^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = 2 \cos^{3}{\left(t \right)}$$
- Sí
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = - 2 \cos^{3}{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = 2 \cos^{3}{\left(t \right)}$$
- Sí
$$2 \cos^{3}{\left(t \right)} = - 2 \cos^{3}{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par