Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2))

Gráfico de la función y = cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    ___\      /    ___\
f(x) = cos\x*\/ 2 / + sin\x*\/ 2 /
f(x)=sin⁡(2x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)} 
f = sin(sqrt(2)*x) + cos(sqrt(2)*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2π8x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \pi}{8}
Solución numérica
x1=12.7732884472053x_{1} = 12.7732884472053
x2=79.4165325195808x_{2} = 79.4165325195808
x3=6.10896403996775x_{3} = 6.10896403996775
x4=−44.9841897488535x_{4} = -44.9841897488535
x5=−98.2987850067539x_{5} = -98.2987850067539
x6=−13.8840091817449x_{6} = -13.8840091817449
x7=94.9666228031351x_{7} = 94.9666228031351
x8=86.0808569268183x_{8} = 86.0808569268183
x9=−42.7627482797743x_{9} = -42.7627482797743
x10=−82.7486947231996x_{10} = -82.7486947231996
x11=−16.1054506508241x_{11} = -16.1054506508241
x12=−64.9771629705661x_{12} = -64.9771629705661
x13=−38.3198653416159x_{13} = -38.3198653416159
x14=30.5448201998388x_{14} = 30.5448201998388
x15=−87.1915776613579x_{15} = -87.1915776613579
x16=−49.4270726870118x_{16} = -49.4270726870118
x17=32.7662616689179x_{17} = 32.7662616689179
x18=46.0949104833931x_{18} = 46.0949104833931
x19=70.5307666432641x_{19} = 70.5307666432641
x20=26.1019372616804x_{20} = 26.1019372616804
x21=21.659054323522x_{21} = 21.659054323522
x22=−78.3058117850412x_{22} = -78.3058117850412
x23=−91.6344605995163x_{23} = -91.6344605995163
x24=28.3233787307596x_{24} = 28.3233787307596
x25=−598.12311554957x_{25} = -598.12311554957
x26=−58.3128385633286x_{26} = -58.3128385633286
x27=92.7451813340559x_{27} = 92.7451813340559
x28=99.4095057412934x_{28} = 99.4095057412934
x29=74.9736495814224x_{29} = 74.9736495814224
x30=−4.99824330542816x_{30} = -4.99824330542816
x31=19.4376128544429x_{31} = 19.4376128544429
x32=−80.5272532541204x_{32} = -80.5272532541204
x33=−73.8629288468828x_{33} = -73.8629288468828
x34=−911.346362689735x_{34} = -911.346362689735
x35=68.3093251741849x_{35} = 68.3093251741849
x36=−40.5413068106951x_{36} = -40.5413068106951
x37=50.5377934215514x_{37} = 50.5377934215514
x38=−100.520226475833x_{38} = -100.520226475833
x39=−0.555360367269796x_{39} = -0.555360367269796
x40=52.7592348906306x_{40} = 52.7592348906306
x41=1.66608110180939x_{41} = 1.66608110180939
x42=−96.0773435376747x_{42} = -96.0773435376747
x43=39.4305860761555x_{43} = 39.4305860761555
x44=−71.6414873778037x_{44} = -71.6414873778037
x45=−29.4340994652992x_{45} = -29.4340994652992
x46=34.9877031379971x_{46} = 34.9877031379971
x47=−11.6625677126657x_{47} = -11.6625677126657
x48=8.33040550904694x_{48} = 8.33040550904694
x49=−67.1986044396453x_{49} = -67.1986044396453
x50=48.3163519524722x_{50} = 48.3163519524722
x51=−24.9912165271408x_{51} = -24.9912165271408
x52=−9.44112624358653x_{52} = -9.44112624358653
x53=−56.0913970942494x_{53} = -56.0913970942494
x54=83.8594154577392x_{54} = 83.8594154577392
x55=−53.8699556251702x_{55} = -53.8699556251702
x56=90.5237398649767x_{56} = 90.5237398649767
x57=10.5518469781261x_{57} = 10.5518469781261
x58=54.9806763597098x_{58} = 54.9806763597098
x59=−84.9701361922788x_{59} = -84.9701361922788
x60=−47.2056312179326x_{60} = -47.2056312179326
x61=41.6520275452347x_{61} = 41.6520275452347
x62=23.8804957926012x_{62} = 23.8804957926012
x63=−31.6555409343784x_{63} = -31.6555409343784
x64=14.9947299162845x_{64} = 14.9947299162845
x65=−7.21968477450735x_{65} = -7.21968477450735
x66=−18.3268921199033x_{66} = -18.3268921199033
x67=88.3022983958975x_{67} = 88.3022983958975
x68=3.88752257088857x_{68} = 3.88752257088857
x69=59.4235592978681x_{69} = 59.4235592978681
x70=−69.4200459087245x_{70} = -69.4200459087245
x71=17.2161713853637x_{71} = 17.2161713853637
x72=−62.7557215014869x_{72} = -62.7557215014869
x73=−20.5483335889824x_{73} = -20.5483335889824
x74=61.6450007669473x_{74} = 61.6450007669473
x75=72.7522081123433x_{75} = 72.7522081123433
x76=−51.648514156091x_{76} = -51.648514156091
x77=−27.21265799622x_{77} = -27.21265799622
x78=112.738154555769x_{78} = 112.738154555769
x79=−36.0984238725367x_{79} = -36.0984238725367
x80=161.609866875511x_{80} = 161.609866875511
x81=66.0878837051057x_{81} = 66.0878837051057
x82=63.8664422360265x_{82} = 63.8664422360265
x83=−22.7697750580616x_{83} = -22.7697750580616
x84=−93.8559020685955x_{84} = -93.8559020685955
x85=−33.8769824034575x_{85} = -33.8769824034575
x86=−2.77680183634898x_{86} = -2.77680183634898
x87=43.8734690143139x_{87} = 43.8734690143139
x88=−60.5342800324077x_{88} = -60.5342800324077
x89=81.63797398866x_{89} = 81.63797398866
x90=−89.4130191304371x_{90} = -89.4130191304371
x91=−76.084370315962x_{91} = -76.084370315962
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x*sqrt(2)) + sin(x*sqrt(2)).
sin⁡(02)+cos⁡(02)\sin{\left(0 \sqrt{2} \right)} + \cos{\left(0 \sqrt{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)=0- \sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π8x_{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
      ___        
 pi*\/ 2     ___ 
(--------, \/ 2 )
    8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2π8x_{1} = \frac{\sqrt{2} \pi}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,2π8]\left(-\infty, \frac{\sqrt{2} \pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
[2π8,∞)\left[\frac{\sqrt{2} \pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=0- 2 \left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2π8x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2π8]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
[−2π8,∞)\left[- \frac{\sqrt{2} \pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x*sqrt(2)) + sin(x*sqrt(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=−sin⁡(2x)+cos⁡(2x)\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)} = - \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}
- No
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=sin⁡(2x)−cos⁡(2x)\sin{\left(\sqrt{2} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{2} x \right)} = \sin{\left(\sqrt{2} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{2} x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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