Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan

Gráfico de la función y = tan

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = tan(x)
f(x)=tan⁡(x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} 
f = tan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(x)=0\tan{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−18.8495559215388x_{1} = -18.8495559215388
x2=−53.4070751110265x_{2} = -53.4070751110265
x3=−37.6991118430775x_{3} = -37.6991118430775
x4=−59.6902604182061x_{4} = -59.6902604182061
x5=−15.707963267949x_{5} = -15.707963267949
x6=−56.5486677646163x_{6} = -56.5486677646163
x7=12.5663706143592x_{7} = 12.5663706143592
x8=3.14159265358979x_{8} = 3.14159265358979
x9=−31.4159265358979x_{9} = -31.4159265358979
x10=84.8230016469244x_{10} = 84.8230016469244
x11=−81.6814089933346x_{11} = -81.6814089933346
x12=94.2477796076938x_{12} = 94.2477796076938
x13=21.9911485751286x_{13} = 21.9911485751286
x14=0x_{14} = 0
x15=−87.9645943005142x_{15} = -87.9645943005142
x16=81.6814089933346x_{16} = 81.6814089933346
x17=40.8407044966673x_{17} = 40.8407044966673
x18=−75.398223686155x_{18} = -75.398223686155
x19=−78.5398163397448x_{19} = -78.5398163397448
x20=62.8318530717959x_{20} = 62.8318530717959
x21=100.530964914873x_{21} = 100.530964914873
x22=−21.9911485751286x_{22} = -21.9911485751286
x23=47.1238898038469x_{23} = 47.1238898038469
x24=91.106186954104x_{24} = 91.106186954104
x25=75.398223686155x_{25} = 75.398223686155
x26=28.2743338823081x_{26} = 28.2743338823081
x27=34.5575191894877x_{27} = 34.5575191894877
x28=6.28318530717959x_{28} = 6.28318530717959
x29=78.5398163397448x_{29} = 78.5398163397448
x30=72.2566310325652x_{30} = 72.2566310325652
x31=−6.28318530717959x_{31} = -6.28318530717959
x32=15.707963267949x_{32} = 15.707963267949
x33=31.4159265358979x_{33} = 31.4159265358979
x34=−47.1238898038469x_{34} = -47.1238898038469
x35=25.1327412287183x_{35} = 25.1327412287183
x36=18.8495559215388x_{36} = 18.8495559215388
x37=−94.2477796076938x_{37} = -94.2477796076938
x38=−3.14159265358979x_{38} = -3.14159265358979
x39=−40.8407044966673x_{39} = -40.8407044966673
x40=56.5486677646163x_{40} = 56.5486677646163
x41=−25.1327412287183x_{41} = -25.1327412287183
x42=53.4070751110265x_{42} = 53.4070751110265
x43=−28.2743338823081x_{43} = -28.2743338823081
x44=−9.42477796076938x_{44} = -9.42477796076938
x45=87.9645943005142x_{45} = 87.9645943005142
x46=−50.2654824574367x_{46} = -50.2654824574367
x47=−100.530964914873x_{47} = -100.530964914873
x48=−43.9822971502571x_{48} = -43.9822971502571
x49=50.2654824574367x_{49} = 50.2654824574367
x50=−97.3893722612836x_{50} = -97.3893722612836
x51=69.1150383789755x_{51} = 69.1150383789755
x52=59.6902604182061x_{52} = 59.6902604182061
x53=97.3893722612836x_{53} = 97.3893722612836
x54=−62.8318530717959x_{54} = -62.8318530717959
x55=−72.2566310325652x_{55} = -72.2566310325652
x56=−91.106186954104x_{56} = -91.106186954104
x57=−12.5663706143592x_{57} = -12.5663706143592
x58=−69.1150383789755x_{58} = -69.1150383789755
x59=37.6991118430775x_{59} = 37.6991118430775
x60=9.42477796076938x_{60} = 9.42477796076938
x61=65.9734457253857x_{61} = 65.9734457253857
x62=−65.9734457253857x_{62} = -65.9734457253857
x63=−84.8230016469244x_{63} = -84.8230016469244
x64=−34.5575191894877x_{64} = -34.5575191894877
x65=43.9822971502571x_{65} = 43.9822971502571
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x).
tan⁡(0)\tan{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x)+1=0\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)=02 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞tan⁡(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞tan⁡(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \tan{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(x)=−tan⁡(x)\tan{\left(x \right)} = - \tan{\left(x \right)}
- No
tan⁡(x)=tan⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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