Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*cos((x+pi/2)/3)-1

Gráfico de la función y = 2*cos((x+pi/2)/3)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /    pi\    
            |x + --|    
            |    2 |    
f(x) = 2*cos|------| - 1
            \  3   /
f(x)=2cos⁡(x+π23)−1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1 
f = 2*cos((x + pi/2)/3) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x+π23)−1=02 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}
Solución numérica
x1=3319.09263851762x_{1} = 3319.09263851762
x2=58.1194640914112x_{2} = 58.1194640914112
x3=−4.71238898038469x_{3} = -4.71238898038469
x4=−98.9601685880785x_{4} = -98.9601685880785
x5=2464.57943674119x_{5} = 2464.57943674119
x6=−17.2787595947439x_{6} = -17.2787595947439
x7=20.4203522483337x_{7} = 20.4203522483337
x8=14.1371669411541x_{8} = 14.1371669411541
x9=39.2699081698724x_{9} = 39.2699081698724
x10=89.5353906273091x_{10} = 89.5353906273091
x11=548.207918051419x_{11} = 548.207918051419
x12=70.6858347057703x_{12} = 70.6858347057703
x13=76.9690200129499x_{13} = 76.9690200129499
x14=32.9867228626928x_{14} = 32.9867228626928
x15=−23.5619449019235x_{15} = -23.5619449019235
x16=−36.1283155162826x_{16} = -36.1283155162826
x17=127.234502470387x_{17} = 127.234502470387
x18=1.5707963267949x_{18} = 1.5707963267949
x19=−73.8274273593601x_{19} = -73.8274273593601
x20=−92.6769832808989x_{20} = -92.6769832808989
x21=−54.9778714378214x_{21} = -54.9778714378214
x22=−61.261056745001x_{22} = -61.261056745001
x23=−42.4115008234622x_{23} = -42.4115008234622
x24=−80.1106126665397x_{24} = -80.1106126665397
x25=51.8362787842316x_{25} = 51.8362787842316
x26=95.8185759344887x_{26} = 95.8185759344887
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos((x + pi/2)/3) - 1.
−1+2cos⁡(12π3)-1 + 2 \cos{\left(\frac{\frac{1}{2} \pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=−1+3f{\left(0 \right)} = -1 + \sqrt{3}
Punto:
(0, -1 + sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x+π23)3=0- \frac{2 \sin{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=5π2x_{2} = \frac{5 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 1)
  2      

 5*pi     
(----, -3)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π2x_{1} = \frac{5 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[5π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π2,5π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2cos⁡(x+π23)9=0- \frac{2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=4πx_{2} = 4 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,4π]\left[\pi, 4 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[4π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[4 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x+π23)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x+π23)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos((x + pi/2)/3) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x+π23)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x+π23)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x+π23)−1=2sin⁡(x3+π3)−12 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1 = 2 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} - 1
- No
2cos⁡(x+π23)−1=1−2sin⁡(x3+π3)2 \cos{\left(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} - 1 = 1 - 2 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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