Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- (\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = -41.3460650069515$$
$$x_{3} = 12.5663706143592$$
$$x_{4} = 59.1848999079219$$
$$x_{5} = -69.1150383789755$$
$$x_{6} = -100.530964914873$$
$$x_{7} = -3.64695316387395$$
$$x_{8} = -169.646003293849$$
$$x_{9} = -25.1327412287183$$
$$x_{10} = -8.91941745048522$$
$$x_{11} = 28.7796943925923$$
$$x_{12} = -53.9124356213106$$
$$x_{13} = 66.4788062356698$$
$$x_{14} = -81.6814089933346$$
$$x_{15} = 46.6185292935627$$
$$x_{16} = -94.2477796076938$$
$$x_{17} = 91.6115474643882$$
$$x_{18} = -91.6115474643882$$
$$x_{19} = 79.045176850029$$
$$x_{20} = -21.4857880648444$$
$$x_{21} = -28.7796943925923$$
$$x_{22} = 96.8840117509994$$
$$x_{23} = 18.8495559215388$$
$$x_{24} = 21.4857880648444$$
$$x_{25} = 94.2477796076938$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = 16.2133237782331$$
$$x_{28} = 34.0521586792036$$
$$x_{29} = -62.8318530717959$$
$$x_{30} = 3.64695316387395$$
$$x_{31} = -56.5486677646163$$
$$x_{32} = -18.8495559215388$$
$$x_{33} = 6.28318530717959$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = 87.9645943005142$$
$$x_{36} = -79.045176850029$$
$$x_{37} = 31.4159265358979$$
$$x_{38} = 25.1327412287183$$
$$x_{39} = 53.9124356213106$$
$$x_{40} = 43.9822971502571$$
$$x_{41} = -96.8840117509994$$
$$x_{42} = -84.3176411366403$$
$$x_{43} = -12.5663706143592$$
$$x_{44} = -16.2133237782331$$
$$x_{45} = -50.2654824574367$$
$$x_{46} = -71.7512705222811$$
$$x_{47} = 100.530964914873$$
$$x_{48} = 81.6814089933346$$
$$x_{49} = 41.3460650069515$$
$$x_{50} = -75.398223686155$$
$$x_{51} = -34.0521586792036$$
$$x_{52} = -87.9645943005142$$
$$x_{53} = 37.6991118430775$$
$$x_{54} = -6.28318530717959$$
$$x_{55} = -59.1848999079219$$
$$x_{56} = 8.91941745048522$$
$$x_{57} = 50.2654824574367$$
$$x_{58} = -37.6991118430775$$
$$x_{59} = 84.3176411366403$$
$$x_{60} = 71.7512705222811$$
$$x_{61} = -43.9822971502571$$
$$x_{62} = 62.8318530717959$$
$$x_{63} = -31.4159265358979$$
$$x_{64} = -66.4788062356698$$
$$x_{65} = 75.398223686155$$
$$x_{66} = -46.6185292935627$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[96.8840117509994, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -96.8840117509994\right]$$