Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x/2)+sinx

Gráfico de la función y = 2*sin(x/2)+sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x\         
f(x) = 2*sin|-| + sin(x)
            \2/
f(x)=sin⁡(x)+2sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = sin(x) + 2*sin(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+2sin⁡(x2)=0\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−446.106016370843x_{1} = -446.106016370843
x2=56.548598305679x_{2} = 56.548598305679
x3=43.9824787652701x_{3} = 43.9824787652701
x4=6.28339752428542x_{4} = 6.28339752428542
x5=−94.2477403655893x_{5} = -94.2477403655893
x6=56.5487166978353x_{6} = 56.5487166978353
x7=−6.28320933386715x_{7} = -6.28320933386715
x8=−43.9822619664275x_{8} = -43.9822619664275
x9=12.5663706143592x_{9} = 12.5663706143592
x10=−18.849742287694x_{10} = -18.849742287694
x11=−100.530964914873x_{11} = -100.530964914873
x12=6.28317667793615x_{12} = 6.28317667793615
x13=31.4160642448112x_{13} = 31.4160642448112
x14=43.9823005003012x_{14} = 43.9823005003012
x15=−18.8493684802434x_{15} = -18.8493684802434
x16=−94.2477116047341x_{16} = -94.2477116047341
x17=−25.1327412287183x_{17} = -25.1327412287183
x18=−69.1151753869331x_{18} = -69.1151753869331
x19=94.2477014713132x_{19} = 94.2477014713132
x20=0x_{20} = 0
x21=−62.8318530717959x_{21} = -62.8318530717959
x22=−43.9823032332469x_{22} = -43.9823032332469
x23=−160818.127922084x_{23} = -160818.127922084
x24=18.8494257487989x_{24} = 18.8494257487989
x25=81.6813304253451x_{25} = 81.6813304253451
x26=−31.4160034262447x_{26} = -31.4160034262447
x27=87.9645943005142x_{27} = 87.9645943005142
x28=25.1327412287183x_{28} = 25.1327412287183
x29=−81.6814265444958x_{29} = -81.6814265444958
x30=100.530964914873x_{30} = 100.530964914873
x31=−50.2654824574367x_{31} = -50.2654824574367
x32=94.2477801894836x_{32} = 94.2477801894836
x33=−56.5485369824861x_{33} = -56.5485369824861
x34=−6.28310940145543x_{34} = -6.28310940145543
x35=−75.398223686155x_{35} = -75.398223686155
x36=43.9823032545604x_{36} = 43.9823032545604
x37=18.8494030739586x_{37} = 18.8494030739586
x38=81.6814926128903x_{38} = 81.6814926128903
x39=−31.4158267363304x_{39} = -31.4158267363304
x40=37.6991118430775x_{40} = 37.6991118430775
x41=−87.9645943005142x_{41} = -87.9645943005142
x42=50.2654824574367x_{42} = 50.2654824574367
x43=−37.6991118430775x_{43} = -37.6991118430775
x44=69.1148583972726x_{44} = 69.1148583972726
x45=69.1150948209007x_{45} = 69.1150948209007
x46=62.8318530717959x_{46} = 62.8318530717959
x47=−12.5663706143592x_{47} = -12.5663706143592
x48=75.398223686155x_{48} = 75.398223686155
x49=69.1152321653141x_{49} = 69.1152321653141
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x/2) + sin(x).
2sin⁡(02)+sin⁡(0)2 \sin{\left(\frac{0}{2} \right)} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+cos⁡(x2)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−10π3x_{1} = - \frac{10 \pi}{3}
x2=−2πx_{2} = - 2 \pi
x3=−2π3x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}
x4=2π3x_{4} = \frac{2 \pi}{3}
x5=2πx_{5} = 2 \pi
x6=10π3x_{6} = \frac{10 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
             ___ 
 -10*pi  3*\/ 3  
(------, -------)
   3        2    

(-2*pi, 0)

             ___ 
 -2*pi  -3*\/ 3  
(-----, --------)
   3       2     

           ___ 
 2*pi  3*\/ 3  
(----, -------)
  3       2    

(2*pi, 0)

             ___ 
 10*pi  -3*\/ 3  
(-----, --------)
   3       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=10π3x_{2} = \frac{10 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x2=−10π3x_{2} = - \frac{10 \pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[10π3,∞)\left[\frac{10 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[2π3,10π3]\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x2)2+sin⁡(x))=0- (\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=69.1150383789755x_{1} = 69.1150383789755
x2=−41.3460650069515x_{2} = -41.3460650069515
x3=12.5663706143592x_{3} = 12.5663706143592
x4=59.1848999079219x_{4} = 59.1848999079219
x5=−69.1150383789755x_{5} = -69.1150383789755
x6=−100.530964914873x_{6} = -100.530964914873
x7=−3.64695316387395x_{7} = -3.64695316387395
x8=−169.646003293849x_{8} = -169.646003293849
x9=−25.1327412287183x_{9} = -25.1327412287183
x10=−8.91941745048522x_{10} = -8.91941745048522
x11=28.7796943925923x_{11} = 28.7796943925923
x12=−53.9124356213106x_{12} = -53.9124356213106
x13=66.4788062356698x_{13} = 66.4788062356698
x14=−81.6814089933346x_{14} = -81.6814089933346
x15=46.6185292935627x_{15} = 46.6185292935627
x16=−94.2477796076938x_{16} = -94.2477796076938
x17=91.6115474643882x_{17} = 91.6115474643882
x18=−91.6115474643882x_{18} = -91.6115474643882
x19=79.045176850029x_{19} = 79.045176850029
x20=−21.4857880648444x_{20} = -21.4857880648444
x21=−28.7796943925923x_{21} = -28.7796943925923
x22=96.8840117509994x_{22} = 96.8840117509994
x23=18.8495559215388x_{23} = 18.8495559215388
x24=21.4857880648444x_{24} = 21.4857880648444
x25=94.2477796076938x_{25} = 94.2477796076938
x26=0x_{26} = 0
x27=16.2133237782331x_{27} = 16.2133237782331
x28=34.0521586792036x_{28} = 34.0521586792036
x29=−62.8318530717959x_{29} = -62.8318530717959
x30=3.64695316387395x_{30} = 3.64695316387395
x31=−56.5486677646163x_{31} = -56.5486677646163
x32=−18.8495559215388x_{32} = -18.8495559215388
x33=6.28318530717959x_{33} = 6.28318530717959
x34=56.5486677646163x_{34} = 56.5486677646163
x35=87.9645943005142x_{35} = 87.9645943005142
x36=−79.045176850029x_{36} = -79.045176850029
x37=31.4159265358979x_{37} = 31.4159265358979
x38=25.1327412287183x_{38} = 25.1327412287183
x39=53.9124356213106x_{39} = 53.9124356213106
x40=43.9822971502571x_{40} = 43.9822971502571
x41=−96.8840117509994x_{41} = -96.8840117509994
x42=−84.3176411366403x_{42} = -84.3176411366403
x43=−12.5663706143592x_{43} = -12.5663706143592
x44=−16.2133237782331x_{44} = -16.2133237782331
x45=−50.2654824574367x_{45} = -50.2654824574367
x46=−71.7512705222811x_{46} = -71.7512705222811
x47=100.530964914873x_{47} = 100.530964914873
x48=81.6814089933346x_{48} = 81.6814089933346
x49=41.3460650069515x_{49} = 41.3460650069515
x50=−75.398223686155x_{50} = -75.398223686155
x51=−34.0521586792036x_{51} = -34.0521586792036
x52=−87.9645943005142x_{52} = -87.9645943005142
x53=37.6991118430775x_{53} = 37.6991118430775
x54=−6.28318530717959x_{54} = -6.28318530717959
x55=−59.1848999079219x_{55} = -59.1848999079219
x56=8.91941745048522x_{56} = 8.91941745048522
x57=50.2654824574367x_{57} = 50.2654824574367
x58=−37.6991118430775x_{58} = -37.6991118430775
x59=84.3176411366403x_{59} = 84.3176411366403
x60=71.7512705222811x_{60} = 71.7512705222811
x61=−43.9822971502571x_{61} = -43.9822971502571
x62=62.8318530717959x_{62} = 62.8318530717959
x63=−31.4159265358979x_{63} = -31.4159265358979
x64=−66.4788062356698x_{64} = -66.4788062356698
x65=75.398223686155x_{65} = 75.398223686155
x66=−46.6185292935627x_{66} = -46.6185292935627

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[96.8840117509994,∞)\left[96.8840117509994, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−96.8840117509994]\left(-\infty, -96.8840117509994\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+2sin⁡(x2))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+2sin⁡(x2))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x/2) + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+2sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+2sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+2sin⁡(x2)=−2sin⁡(x2)−sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \sin{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)+2sin⁡(x2)=2sin⁡(x2)+sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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