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f(x)=3x^5-5x^3
Trazado el gráfico de la función/ f(x)=3x^5-5x^3

Gráfico de la función y = f(x)=3x^5-5x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          5      3
f(x) = 3*x  - 5*x
$$f{\left(x \right)} = 3 x^{5} - 5 x^{3}$$ 
f = 3*x^5 - 5*x^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 x^{5} - 5 x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.29099444873581$$
$$x_{2} = 1.29099444873581$$
$$x_{3} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*x^5 - 5*x^3.
$$3 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 2)

(0, 0)

(1, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$30 x \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{5} - 5 x^{3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{5} - 5 x^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^5 - 5*x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{5} - 5 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{5} - 5 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$3 x^{5} - 5 x^{3} = - 3 x^{5} + 5 x^{3}$$
- No
$$3 x^{5} - 5 x^{3} = 3 x^{5} - 5 x^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = f(x)=3x^5-5x^3
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