Sr Examen

Otras calculadoras

1/2*sin(x-pi/4)-2
Trazado el gráfico de la función/ 1/2*sin(x-pi/4)-2

Gráfico de la función y = 1/2*sin(x-pi/4)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
       sin|x - --|    
          \    4 /    
f(x) = ----------- - 2
            2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2$$ 
f = sin(x - pi/4)/2 - 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x - pi/4)/2 - 2.
$$-2 + \frac{\sin{\left(- \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2 - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Punto:
(0, -2 - sqrt(2)/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
               /pi   pi\ 
            sin|-- + --| 
 -pi           \4    4 / 
(----, -2 - ------------)
  4              2       

               /pi   pi\ 
            cos|-- - --| 
 3*pi          \4    4 / 
(----, -2 + ------------)
  4              2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2\right) = \left\langle - \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2\right) = \left\langle - \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{5}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x - pi/4)/2 - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 = - \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/2*sin(x-pi/4)-2
    © Sr Examen – Калькулятор