Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- 2cos(2x)-sin(x)
- 2 coseno de (2x) menos seno de (x)
- 2cos2x-sinx
-
Expresiones semejantes
- 2cos(2x)+sin(x)
- 2cos(2x)-sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sin(2*x^3)^2/(x^3)
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
- sin(x)+sin(10/3*x)+log(x)-(0,84*x+3)
Gráfico de la función y = 2cos(2x)-sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 2*cos(2*x) - sin(x)
$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
f = -sin(x) + 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 71.6217641614317$$
$$x_{2} = -68.4801715078419$$
$$x_{3} = 74.3952567322888$$
$$x_{4} = -51.2684494113029$$
$$x_{5} = 77.9049494686113$$
$$x_{6} = -54.0419419821601$$
$$x_{7} = -1.00296695386625$$
$$x_{8} = 88.5994611716478$$
$$x_{9} = -5.64831843604602$$
$$x_{10} = -26.1357081825846$$
$$x_{11} = -116.873795053956$$
$$x_{12} = 2.50672578245622$$
$$x_{13} = -70.1180053328417$$
$$x_{14} = -46.1209228499806$$
$$x_{15} = -71.253664078699$$
$$x_{16} = 16.7109302218152$$
$$x_{17} = -16.3428301390825$$
$$x_{18} = 61.8288861179296$$
$$x_{19} = -60.3251272893396$$
$$x_{20} = -33.5545522356215$$
$$x_{21} = -32.4188934897642$$
$$x_{22} = -3.77645952472336$$
$$x_{23} = 29.2773008361744$$
$$x_{24} = 68.1120714251092$$
$$x_{25} = 4.14455960745605$$
$$x_{26} = 24.1297742748521$$
$$x_{27} = 76.0330905572886$$
$$x_{28} = 98.3923392151498$$
$$x_{29} = -79.1746832108784$$
$$x_{30} = -24.4978743575848$$
$$x_{31} = 38715.9848958867$$
$$x_{32} = -41.4755713678009$$
$$x_{33} = 27.6394670111746$$
$$x_{34} = -47.7587566749805$$
$$x_{35} = 40.2058376255337$$
$$x_{36} = -35.1923860606213$$
$$x_{37} = -11.9315037432256$$
$$x_{38} = 52.7722082398929$$
$$x_{39} = 17.8465889676725$$
$$x_{40} = -27.2713669284419$$
$$x_{41} = -57.5516347184825$$
$$x_{42} = 11.5634036604929$$
$$x_{43} = -62.1969862006623$$
$$x_{44} = -93.6129127365602$$
$$x_{45} = 121.887246618868$$
$$x_{46} = 84.1881347757908$$
$$x_{47} = 38.3339787142111$$
$$x_{48} = 48.1268567577131$$
$$x_{49} = 19.4844227926723$$
$$x_{50} = 32.0507934070315$$
$$x_{51} = -76.4011906400213$$
$$x_{52} = 55.54570081075$$
$$x_{53} = 0.634866871133571$$
$$x_{54} = 54.4100420648927$$
$$x_{55} = 30.4129595820317$$
$$x_{56} = -39.8377375428011$$
$$x_{57} = 92.1091539079703$$
$$x_{58} = -77.5368493858786$$
$$x_{59} = 46.4890229327133$$
$$x_{60} = 41.8436714505336$$
$$x_{61} = 8.78991108963581$$
$$x_{62} = -43.3474302791235$$
$$x_{63} = -49.6306155863031$$
$$x_{64} = 99.5279979610071$$
$$x_{65} = -13.5693375682254$$
$$x_{66} = -87.3297274293806$$
$$x_{67} = -8561.47484790332$$
$$x_{68} = 25.7676080998519$$
$$x_{69} = -2.13862569972354$$
$$x_{70} = 69.749905250109$$
$$x_{71} = 96.75450539015$$
$$x_{72} = -90.1032200002378$$
$$x_{73} = 10.4277449146356$$
$$x_{74} = -91.7410538252376$$
$$x_{75} = -98.0242391324172$$
$$x_{76} = 90.4713200829704$$
$$x_{77} = 60.6932273720723$$
$$x_{78} = 63.4667199429294$$
$$x_{79} = -83.8200346930582$$
$$x_{80} = 33.9226523183542$$
$$x_{81} = -63.8348200256621$$
$$x_{82} = -85.457868518058$$
$$x_{83} = -55.9138008934827$$
$$x_{84} = -10.059644831903$$
$$x_{85} = 82.3162758644682$$
$$x_{86} = -18.2146890504052$$
$$x_{87} = -19.852522875405$$
$$x_{88} = -366.56337351614$$
$$x_{89} = 85.8259686007907$$
$$x_{90} = 44.6171640213907$$
$$x_{91} = -99.8960980437398$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 71.6217641614317$$
$$x_{2} = -68.4801715078419$$
$$x_{3} = 74.3952567322888$$
$$x_{4} = -51.2684494113029$$
$$x_{5} = 77.9049494686113$$
$$x_{6} = -54.0419419821601$$
$$x_{7} = -1.00296695386625$$
$$x_{8} = 88.5994611716478$$
$$x_{9} = -5.64831843604602$$
$$x_{10} = -26.1357081825846$$
$$x_{11} = -116.873795053956$$
$$x_{12} = 2.50672578245622$$
$$x_{13} = -70.1180053328417$$
$$x_{14} = -46.1209228499806$$
$$x_{15} = -71.253664078699$$
$$x_{16} = 16.7109302218152$$
$$x_{17} = -16.3428301390825$$
$$x_{18} = 61.8288861179296$$
$$x_{19} = -60.3251272893396$$
$$x_{20} = -33.5545522356215$$
$$x_{21} = -32.4188934897642$$
$$x_{22} = -3.77645952472336$$
$$x_{23} = 29.2773008361744$$
$$x_{24} = 68.1120714251092$$
$$x_{25} = 4.14455960745605$$
$$x_{26} = 24.1297742748521$$
$$x_{27} = 76.0330905572886$$
$$x_{28} = 98.3923392151498$$
$$x_{29} = -79.1746832108784$$
$$x_{30} = -24.4978743575848$$
$$x_{31} = 38715.9848958867$$
$$x_{32} = -41.4755713678009$$
$$x_{33} = 27.6394670111746$$
$$x_{34} = -47.7587566749805$$
$$x_{35} = 40.2058376255337$$
$$x_{36} = -35.1923860606213$$
$$x_{37} = -11.9315037432256$$
$$x_{38} = 52.7722082398929$$
$$x_{39} = 17.8465889676725$$
$$x_{40} = -27.2713669284419$$
$$x_{41} = -57.5516347184825$$
$$x_{42} = 11.5634036604929$$
$$x_{43} = -62.1969862006623$$
$$x_{44} = -93.6129127365602$$
$$x_{45} = 121.887246618868$$
$$x_{46} = 84.1881347757908$$
$$x_{47} = 38.3339787142111$$
$$x_{48} = 48.1268567577131$$
$$x_{49} = 19.4844227926723$$
$$x_{50} = 32.0507934070315$$
$$x_{51} = -76.4011906400213$$
$$x_{52} = 55.54570081075$$
$$x_{53} = 0.634866871133571$$
$$x_{54} = 54.4100420648927$$
$$x_{55} = 30.4129595820317$$
$$x_{56} = -39.8377375428011$$
$$x_{57} = 92.1091539079703$$
$$x_{58} = -77.5368493858786$$
$$x_{59} = 46.4890229327133$$
$$x_{60} = 41.8436714505336$$
$$x_{61} = 8.78991108963581$$
$$x_{62} = -43.3474302791235$$
$$x_{63} = -49.6306155863031$$
$$x_{64} = 99.5279979610071$$
$$x_{65} = -13.5693375682254$$
$$x_{66} = -87.3297274293806$$
$$x_{67} = -8561.47484790332$$
$$x_{68} = 25.7676080998519$$
$$x_{69} = -2.13862569972354$$
$$x_{70} = 69.749905250109$$
$$x_{71} = 96.75450539015$$
$$x_{72} = -90.1032200002378$$
$$x_{73} = 10.4277449146356$$
$$x_{74} = -91.7410538252376$$
$$x_{75} = -98.0242391324172$$
$$x_{76} = 90.4713200829704$$
$$x_{77} = 60.6932273720723$$
$$x_{78} = 63.4667199429294$$
$$x_{79} = -83.8200346930582$$
$$x_{80} = 33.9226523183542$$
$$x_{81} = -63.8348200256621$$
$$x_{82} = -85.457868518058$$
$$x_{83} = -55.9138008934827$$
$$x_{84} = -10.059644831903$$
$$x_{85} = 82.3162758644682$$
$$x_{86} = -18.2146890504052$$
$$x_{87} = -19.852522875405$$
$$x_{88} = -366.56337351614$$
$$x_{89} = 85.8259686007907$$
$$x_{90} = 44.6171640213907$$
$$x_{91} = -99.8960980437398$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, -1) 2
pi (--, -3) 2
/ ___ \ / / ___ \\ / / ___ \\
| 3*\/ 7 I| | | 3*\/ 7 I|| | | 3*\/ 7 I||
(-I*log|- ------- - -|, 2*cos|2*I*log|- ------- - -|| + sin|I*log|- ------- - -||)
\ 8 8/ \ \ 8 8// \ \ 8 8// / ___\ / / ___\\ / / ___\\
| I 3*\/ 7 | | | I 3*\/ 7 || | | I 3*\/ 7 ||
(-I*log|- - + -------|, 2*cos|2*I*log|- - + -------|| + sin|I*log|- - + -------||)
\ 8 8 / \ \ 8 8 // \ \ 8 8 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{i \left(1 + 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{3 \sqrt{57} i}{32} - \frac{i}{32} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} \left(-1 + 3 \sqrt{57}\right)}{6 \sqrt{\sqrt{57} + 85}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{i \left(1 + 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{3 \sqrt{57} i}{32} - \frac{i}{32} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} \left(-1 + 3 \sqrt{57}\right)}{6 \sqrt{\sqrt{57} + 85}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(2*x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar