Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2cos(2x)-sin(x)

Gráfico de la función y = 2cos(2x)-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(2*x) - sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} 
f = -sin(x) + 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−ilog⁡(−215−338−i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(−233+158−i(1−33)8)x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(233+158−i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} - \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(215−338−33i8−i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} - \frac{\sqrt{33} i}{8} - \frac{i}{8} \right)}
Solución numérica
x1=71.6217641614317x_{1} = 71.6217641614317
x2=−68.4801715078419x_{2} = -68.4801715078419
x3=74.3952567322888x_{3} = 74.3952567322888
x4=−51.2684494113029x_{4} = -51.2684494113029
x5=77.9049494686113x_{5} = 77.9049494686113
x6=−54.0419419821601x_{6} = -54.0419419821601
x7=−1.00296695386625x_{7} = -1.00296695386625
x8=88.5994611716478x_{8} = 88.5994611716478
x9=−5.64831843604602x_{9} = -5.64831843604602
x10=−26.1357081825846x_{10} = -26.1357081825846
x11=−116.873795053956x_{11} = -116.873795053956
x12=2.50672578245622x_{12} = 2.50672578245622
x13=−70.1180053328417x_{13} = -70.1180053328417
x14=−46.1209228499806x_{14} = -46.1209228499806
x15=−71.253664078699x_{15} = -71.253664078699
x16=16.7109302218152x_{16} = 16.7109302218152
x17=−16.3428301390825x_{17} = -16.3428301390825
x18=61.8288861179296x_{18} = 61.8288861179296
x19=−60.3251272893396x_{19} = -60.3251272893396
x20=−33.5545522356215x_{20} = -33.5545522356215
x21=−32.4188934897642x_{21} = -32.4188934897642
x22=−3.77645952472336x_{22} = -3.77645952472336
x23=29.2773008361744x_{23} = 29.2773008361744
x24=68.1120714251092x_{24} = 68.1120714251092
x25=4.14455960745605x_{25} = 4.14455960745605
x26=24.1297742748521x_{26} = 24.1297742748521
x27=76.0330905572886x_{27} = 76.0330905572886
x28=98.3923392151498x_{28} = 98.3923392151498
x29=−79.1746832108784x_{29} = -79.1746832108784
x30=−24.4978743575848x_{30} = -24.4978743575848
x31=38715.9848958867x_{31} = 38715.9848958867
x32=−41.4755713678009x_{32} = -41.4755713678009
x33=27.6394670111746x_{33} = 27.6394670111746
x34=−47.7587566749805x_{34} = -47.7587566749805
x35=40.2058376255337x_{35} = 40.2058376255337
x36=−35.1923860606213x_{36} = -35.1923860606213
x37=−11.9315037432256x_{37} = -11.9315037432256
x38=52.7722082398929x_{38} = 52.7722082398929
x39=17.8465889676725x_{39} = 17.8465889676725
x40=−27.2713669284419x_{40} = -27.2713669284419
x41=−57.5516347184825x_{41} = -57.5516347184825
x42=11.5634036604929x_{42} = 11.5634036604929
x43=−62.1969862006623x_{43} = -62.1969862006623
x44=−93.6129127365602x_{44} = -93.6129127365602
x45=121.887246618868x_{45} = 121.887246618868
x46=84.1881347757908x_{46} = 84.1881347757908
x47=38.3339787142111x_{47} = 38.3339787142111
x48=48.1268567577131x_{48} = 48.1268567577131
x49=19.4844227926723x_{49} = 19.4844227926723
x50=32.0507934070315x_{50} = 32.0507934070315
x51=−76.4011906400213x_{51} = -76.4011906400213
x52=55.54570081075x_{52} = 55.54570081075
x53=0.634866871133571x_{53} = 0.634866871133571
x54=54.4100420648927x_{54} = 54.4100420648927
x55=30.4129595820317x_{55} = 30.4129595820317
x56=−39.8377375428011x_{56} = -39.8377375428011
x57=92.1091539079703x_{57} = 92.1091539079703
x58=−77.5368493858786x_{58} = -77.5368493858786
x59=46.4890229327133x_{59} = 46.4890229327133
x60=41.8436714505336x_{60} = 41.8436714505336
x61=8.78991108963581x_{61} = 8.78991108963581
x62=−43.3474302791235x_{62} = -43.3474302791235
x63=−49.6306155863031x_{63} = -49.6306155863031
x64=99.5279979610071x_{64} = 99.5279979610071
x65=−13.5693375682254x_{65} = -13.5693375682254
x66=−87.3297274293806x_{66} = -87.3297274293806
x67=−8561.47484790332x_{67} = -8561.47484790332
x68=25.7676080998519x_{68} = 25.7676080998519
x69=−2.13862569972354x_{69} = -2.13862569972354
x70=69.749905250109x_{70} = 69.749905250109
x71=96.75450539015x_{71} = 96.75450539015
x72=−90.1032200002378x_{72} = -90.1032200002378
x73=10.4277449146356x_{73} = 10.4277449146356
x74=−91.7410538252376x_{74} = -91.7410538252376
x75=−98.0242391324172x_{75} = -98.0242391324172
x76=90.4713200829704x_{76} = 90.4713200829704
x77=60.6932273720723x_{77} = 60.6932273720723
x78=63.4667199429294x_{78} = 63.4667199429294
x79=−83.8200346930582x_{79} = -83.8200346930582
x80=33.9226523183542x_{80} = 33.9226523183542
x81=−63.8348200256621x_{81} = -63.8348200256621
x82=−85.457868518058x_{82} = -85.457868518058
x83=−55.9138008934827x_{83} = -55.9138008934827
x84=−10.059644831903x_{84} = -10.059644831903
x85=82.3162758644682x_{85} = 82.3162758644682
x86=−18.2146890504052x_{86} = -18.2146890504052
x87=−19.852522875405x_{87} = -19.852522875405
x88=−366.56337351614x_{88} = -366.56337351614
x89=85.8259686007907x_{89} = 85.8259686007907
x90=44.6171640213907x_{90} = 44.6171640213907
x91=−99.8960980437398x_{91} = -99.8960980437398
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(2*x) - sin(x).
−sin⁡(0)+2cos⁡(0⋅2)- \sin{\left(0 \right)} + 2 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(2x)−cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−378−i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(378−i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} - \frac{i}{8} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi     
(--, -3)
 2      

       /      ___    \       /       /      ___    \\      /     /      ___    \\ 
       |  3*\/ 7    I|       |       |  3*\/ 7    I||      |     |  3*\/ 7    I|| 
(-I*log|- ------- - -|, 2*cos|2*I*log|- ------- - -|| + sin|I*log|- ------- - -||)
       \     8      8/       \       \     8      8//      \     \     8      8// 

       /          ___\       /       /          ___\\      /     /          ___\\ 
       |  I   3*\/ 7 |       |       |  I   3*\/ 7 ||      |     |  I   3*\/ 7 || 
(-I*log|- - + -------|, 2*cos|2*I*log|- - + -------|| + sin|I*log|- - + -------||)
       \  8      8   /       \       \  8      8   //      \     \  8      8   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−π+atan⁡(721)x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}
x2=−atan⁡(721)x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−atan⁡(721),π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)−8cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−685−5732−i(1+357)32)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{i \left(1 + 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}
x2=−ilog⁡(−657+8532−i(1−357)32)x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}
x3=−ilog⁡(657+8532−i(1−357)32)x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{57} + 85}}{32} - \frac{i \left(1 - 3 \sqrt{57}\right)}{32} \right)}
x4=−ilog⁡(685−5732−357i32−i32)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{6} \sqrt{85 - \sqrt{57}}}{32} - \frac{3 \sqrt{57} i}{32} - \frac{i}{32} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π+atan⁡(−6(−357−1)685−57),−atan⁡(−6(−357−1)685−57)]∪[atan⁡(6(−1+357)657+85),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} \left(-1 + 3 \sqrt{57}\right)}{6 \sqrt{\sqrt{57} + 85}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(−6(−357−1)685−57)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \left(- 3 \sqrt{57} - 1\right)}{6 \sqrt{85 - \sqrt{57}}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+2cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+2cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(2*x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)=sin⁡(x)+2cos⁡(2x)- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
−sin⁡(x)+2cos⁡(2x)=−sin⁡(x)−2cos⁡(2x)- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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