Sr Examen

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((x+1)/(x-1))^2
Trazado el gráfico de la función/ ((x+1)/(x-1))^2

Gráfico de la función y = ((x+1)/(x-1))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2
       /x + 1\ 
f(x) = |-----| 
       \x - 1/
f(x)=(x+1x−1)2f{\left(x \right)} = \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} 
f = ((x + 1)/(x - 1))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1x−1)2=0\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−0.999999824936408x_{1} = -0.999999824936408
x2=−1.00000017677356x_{2} = -1.00000017677356
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)/(x - 1))^2.
(1−1)2\left(\frac{1}{-1}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+1)2(x−1)2(x−1)(2x−1−2(x+1)(x−1)2)x+1=0\frac{\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 1\right) \left(\frac{2}{x - 1} - \frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−3(x+1)x−1)(1−x+1x−1)(x−1)2=0\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(1−3(x+1)x−1)(1−x+1x−1)(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(1−3(x+1)x−1)(1−x+1x−1)(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{3 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right) \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x−1)2=1\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x+1x−1)2=1\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)/(x - 1))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−1)2(x+1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−1)2(x+1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1x−1)2=(1−x)2(−x−1)2\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} = \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
(x+1x−1)2=−(1−x)2(−x−1)2\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} = - \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ((x+1)/(x-1))^2
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