Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*(1-log(x)/log(1+x))

Gráfico de la función y = x*(1-log(x)/log(1+x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /      log(x)  \
f(x) = x*|1 - ----------|
         \    log(1 + x)/
f(x)=x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)f{\left(x \right)} = x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) 
f = x*(-log(x)/log(x + 1) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)=0x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.64303357306687⋅1026x_{1} = 1.64303357306687 \cdot 10^{26}
x2=−5.8884834540293⋅1025x_{2} = -5.8884834540293 \cdot 10^{25}
x3=3.4126653301252⋅1026x_{3} = 3.4126653301252 \cdot 10^{26}
x4=−1.48465002938708⋅1026x_{4} = -1.48465002938708 \cdot 10^{26}
x5=1.81421775866504⋅1027x_{5} = 1.81421775866504 \cdot 10^{27}
x6=1.96261209285207⋅1026x_{6} = 1.96261209285207 \cdot 10^{26}
x7=1.79907903308713⋅1026x_{7} = 1.79907903308713 \cdot 10^{26}
x8=−3.01719483978956⋅1026x_{8} = -3.01719483978956 \cdot 10^{26}
x9=−1.08909292178329⋅1026x_{9} = -1.08909292178329 \cdot 10^{26}
x10=5.17571396605942⋅1025x_{10} = 5.17571396605942 \cdot 10^{25}
x11=−4.91599969168362⋅1025x_{11} = -4.91599969168362 \cdot 10^{25}
x12=8.14206166922595⋅1025x_{12} = 8.14206166922595 \cdot 10^{25}
x13=2.66604976317741⋅1025x_{13} = 2.66604976317741 \cdot 10^{25}
x14=−2.6766550122067⋅1026x_{14} = -2.6766550122067 \cdot 10^{26}
x15=3.47810983814331⋅1025x_{15} = 3.47810983814331 \cdot 10^{25}
x16=3.41488755403284⋅1025x_{16} = 3.41488755403284 \cdot 10^{25}
x17=−1.26798964200618⋅1027x_{17} = -1.26798964200618 \cdot 10^{27}
x18=−3.08248612474561⋅1025x_{18} = -3.08248612474561 \cdot 10^{25}
x19=−4.1308261358229⋅1025x_{19} = -4.1308261358229 \cdot 10^{25}
x20=2.68153582461078⋅1025x_{20} = 2.68153582461078 \cdot 10^{25}
x21=−1.81805708156821⋅1026x_{21} = -1.81805708156821 \cdot 10^{26}
x22=2.18532595273391⋅1026x_{22} = 2.18532595273391 \cdot 10^{26}
x23=4.82525994556449⋅1027x_{23} = 4.82525994556449 \cdot 10^{27}
x24=−1.72811315087205⋅1026x_{24} = -1.72811315087205 \cdot 10^{26}
x25=3.00344234984697⋅1025x_{25} = 3.00344234984697 \cdot 10^{25}
x26=1.22074368079807⋅1026x_{26} = 1.22074368079807 \cdot 10^{26}
x27=1.03871065132086⋅1026x_{27} = 1.03871065132086 \cdot 10^{26}
x28=7.14210920937104⋅1025x_{28} = 7.14210920937104 \cdot 10^{25}
x29=4.64869596520739⋅1025x_{29} = 4.64869596520739 \cdot 10^{25}
x30=2.66095448179213⋅1025x_{30} = 2.66095448179213 \cdot 10^{25}
x31=4.01149743513923⋅1025x_{31} = 4.01149743513923 \cdot 10^{25}
x32=−6.78911604068371⋅1028x_{32} = -6.78911604068371 \cdot 10^{28}
x33=2.79792998248494⋅1025x_{33} = 2.79792998248494 \cdot 10^{25}
x34=3.28519049488109⋅1026x_{34} = 3.28519049488109 \cdot 10^{26}
x35=2.72605670176881⋅1026x_{35} = 2.72605670176881 \cdot 10^{26}
x36=−3.04661589867904⋅1026x_{36} = -3.04661589867904 \cdot 10^{26}
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(log⁡(x)(x+1)log⁡(x+1)2−1xlog⁡(x+1))−log⁡(x)log⁡(x+1)+1=0x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}} - \frac{1}{x \log{\left(x + 1 \right)}}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)+2log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)2−2x(x+1)log⁡(x+1)−1x2)+2log⁡(x)(x+1)log⁡(x+1)−2xlog⁡(x+1)=0\frac{- x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{2}{x}}{\log{\left(x + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=150472.233627813x_{1} = 150472.233627813
x2=164022.209340756x_{2} = 164022.209340756
x3=195991.692457278x_{3} = 195991.692457278
x4=132566.57221292x_{4} = 132566.57221292
x5=128121.381751329x_{5} = 128121.381751329
x6=191396.679677409x_{6} = 191396.679677409
x7=93084.6299615081x_{7} = 93084.6299615081
x8=205207.670427809x_{8} = 205207.670427809
x9=110478.941364116x_{9} = 110478.941364116
x10=141495.222010585x_{10} = 141495.222010585
x11=154977.961713515x_{11} = 154977.961713515
x12=186810.595629778x_{12} = 186810.595629778
x13=159494.724510214x_{13} = 159494.724510214
x14=137024.658229269x_{14} = 137024.658229269
x15=173108.174630427x_{15} = 173108.174630427
x16=177666.106434804x_{16} = 177666.106434804
x17=168560.119818688x_{17} = 168560.119818688
x18=145977.870572143x_{18} = 145977.870572143
x19=101748.236787254x_{19} = 101748.236787254
x20=182233.660866255x_{20} = 182233.660866255
x21=84494.2756676833x_{21} = 84494.2756676833
x22=123689.531811848x_{22} = 123689.531811848
x23=114867.785706707x_{23} = 114867.785706707
x24=119271.49722097x_{24} = 119271.49722097
x25=97407.6853287334x_{25} = 97407.6853287334
x26=106105.54861971x_{26} = 106105.54861971
x27=200595.423227457x_{27} = 200595.423227457
x28=88779.8697877139x_{28} = 88779.8697877139
x29=209828.241103855x_{29} = 209828.241103855
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−x(log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)+2log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)2−2x(x+1)log⁡(x+1)−1x2)+2log⁡(x)(x+1)log⁡(x+1)−2xlog⁡(x+1))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{2}{x}}{\log{\left(x + 1 \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−x(log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)+2log⁡(x)(x+1)2log⁡(x+1)2−2x(x+1)log⁡(x+1)−1x2)+2log⁡(x)(x+1)log⁡(x+1)−2xlog⁡(x+1))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} - \frac{2}{x}}{\log{\left(x + 1 \right)}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[186810.595629778,∞)\left[186810.595629778, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,84494.2756676833]\left(-\infty, 84494.2756676833\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(1 - log(x)/log(1 + x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)=−x(−log⁡(−x)log⁡(1−x)+1)x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) = - x \left(- \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}} + 1\right)
- No
x(−log⁡(x)log⁡(x+1)+1)=x(−log⁡(−x)log⁡(1−x)+1)x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + 1\right) = x \left(- \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}} + 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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