Gráfico de la función y = 2^sin(5*x)

Ha introducido [src]

        sin(5*x)
f(x) = 2

f{\left(x \right)} = 2^{\sin{\left(5 x \right)}}

f = 2^sin(5*x)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

2^{\sin{\left(5 x \right)}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^sin(5*x).

2^{\sin{\left(0 \cdot 5 \right)}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 1

Punto:

(0, 1)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

5 \cdot 2^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = - \frac{9 \pi}{10}

x_{2} = - \frac{\pi}{2}

x_{3} = \frac{\pi}{10}

x_{4} = \frac{\pi}{2}

x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}

x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}

x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}

x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}

x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}

x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}

Signos de extremos en los puntos:

 -9*pi      
(-----, 1/2)
   10

 -pi       
(----, 1/2)
  2

 pi    
(--, 2)
 10

 pi    
(--, 2)
 2

                                                                          /       /              ___________                      ___________\\ 
                                                                          |       |      ____   /       ___        ___     ___   /       ___ || 
       /              ___________                      ___________\       |       |I   \/ 10 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5  || 
       |      ____   /       ___        ___     ___   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------|| 
       |I   \/ 10 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5  |       \       \4             8                4               8          // 
(-I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------|, 2                                                                         )
       \4             8                4               8          /

                                                                            /       /                         ___________             ___________\\ 
                                                                            |       |          ___     ___   /       ___      ____   /       ___ || 
       /                         ___________             ___________\       |       |  I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5  || 
       |          ___     ___   /       ___      ____   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|| 
       |  I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5  |       \       \  4      4               8                       8          // 
(-I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|, 2                                                                           )
       \  4      4               8                       8          /

                                                                                                                         /       /              ___________                      ___________            ___________             ___________\\ 
                                                                                                                         |       |      ____   /       ___        ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___ || 
       /              ___________                      ___________            ___________             ___________\       |       |I   \/ 10 *\/  5 - \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5  || 
       |      ____   /       ___        ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------|| 
       |I   \/ 10 *\/  5 - \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5  |       \       \4             16               4               16                     16                      16         // 
(-I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------|, 2                                                                                                                        )
       \4             16               4               16                     16                      16         /

                                                                                                                           /       /               ___________             ___________             ___________                      ___________\\ 
                                                                                                                           |       |        ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___        ___     ___   /       ___ || 
       /               ___________             ___________             ___________                      ___________\       |       |  I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 - \/ 5  || 
       |        ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___        ___     ___   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|| 
       |  I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5     I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 - \/ 5  |       \       \  4            16                      16                      16               4               16         // 
(-I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|, 2                                                                                                                          )
       \  4            16                      16                      16               4               16         /

                                                                                                                           /       /                         ___________            ___________             ___________             ___________\\ 
                                                                                                                           |       |          ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___ || 
       /                         ___________            ___________             ___________             ___________\       |       |  I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5  || 
       |          ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|| 
       |  I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5  |       \       \  4      4               16                     16                      16                      16         // 
(-I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|, 2                                                                                                                          )
       \  4      4               16                     16                      16                      16         /

                                                                                                                         /       /                       ___________            ___________             ___________             ___________\\ 
                                                                                                                         |       |        ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___ || 
       /                       ___________            ___________             ___________             ___________\       |       |I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5  || 
       |        ___     ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___ |   -sin|5*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------|| 
       |I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5  |       \       \4      4               16                     16                      16                      16         // 
(-I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------|, 2                                                                                                                        )
       \4      4               16                     16                      16                      16         /

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = - \frac{9 \pi}{10}

x_{2} = - \frac{\pi}{2}

x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)} + \pi

x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}

x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}

Puntos máximos de la función:

x_{5} = \frac{\pi}{10}

x_{5} = \frac{\pi}{2}

x_{5} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 \sqrt{5} - 2}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}

x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi

x_{5} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}

Decrece en los intervalos

\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)} + \pi, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left(-\infty, - \frac{9 \pi}{10}\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

25 \cdot 2^{\sin{\left(5 x \right)}} \left(- \sin{\left(5 x \right)} + \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}

x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left(-\infty, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}}{5}\right]

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} 2^{\sin{\left(5 x \right)}} = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}

\lim_{x \to \infty} 2^{\sin{\left(5 x \right)}} = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^sin(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(5 x \right)}}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(5 x \right)}}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

2^{\sin{\left(5 x \right)}} = 2^{- \sin{\left(5 x \right)}}

- No

2^{\sin{\left(5 x \right)}} = - 2^{- \sin{\left(5 x \right)}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = 2^sin(5*x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución